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[转载] 一个大於77的正整數总可表为若干个不同正整數之和,且各堆垒项的倒數之和等於1。

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发表于 2021-9-4 09:13:41 | 显示全部楼层 |阅读模式

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轉自某書,有可能是《數學萬花筒》,因為做筆記時沒記住来源。

一个大於77的整數总可表为若干个不同正整數之和,且各堆叠项的倒數之和等於1。

425=3+5+7+9+15+21+27+35+63+105+135
上面等號右邊的數的倒數之和等於1。
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发表于 2021-9-4 19:08:26 | 显示全部楼层
网页搜索答案
一个自然数若能表示为若干个正整数的和,且这些正整数的倒数和恰好等于1,则称为“金鸡数”.
求证17是“金鸡数”.
【答案】17=3+4+4+6.
于是,(1/3)+(1/4)+(1/4)+(1/6)= 1.
所以:17是“金鸡数”.

10=2+4+4,10是金鸡数
11=2+3+6,1/2+1/3+1/6=1,11是金鸡数。
22是金鸡数
2005是金鸡数
2005=50+50+50+.....+50(一共40个)+5,并且40×(1/50)+(1/5)=1。

n是正整数,若n能表示为若干个正整数的和,且这些正整数的倒数和为1,则称n为“和谐数”
若n为和谐数,则2n+2和2n+9也为和谐数
设n=A1+A2+A3+.....+Am,则1/A1+1/A2+1/A3+....+1/Am=1
2n+2=2A1+2A2+2A3+......2Am+2
有1/2(1/A1+1/A2+1/A3+......+1/Am)+1/2=1/2+1/2=1
因此2n+2也是和谐数
把9分解成3 和6同样可以证明2n+9
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发表于 2021-9-4 19:53:08 | 显示全部楼层
条件严一点
规定一个自然数若能表示为若干个不同正整数的和,且这些正整数的倒数和恰好等于1.
记住是不同,即各个相加的数不能重复.
11是最小能表示为不同整数之和的数,11=2+3+6.因为4和10有重复的加数.
38=3+4+5+6+20,它们的倒数之和为1.
如果求出77以下的数能够表示为不同整数之和,有几个?那么不能表示的数也就出来了
至于要证77以上的数,留给有头脑的人去证明.
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发表于 2021-9-4 20:13:54 | 显示全部楼层
如果会编程按以下思路跑一下77至1万的数大体就可以知道是不是所有大于77的数都可以表示为不同整数之和?至于倒数之和为1暂不考虑

77可以表示成n(n≥2)个连续自然数的和,则n的值的个数是多少?
【答案】Sn=na1+n(n-1)d/2 (d为等比数列公差 )连续自然数所以d=1
Sn=n[a1+(n-1)/2] 因为n为正整数 且大于2 所以n为7,11,77
当n=7时 a1=8 所以符合题意
当n=11时 a1=2 所以符合题意
当n=77时 a1=-37所以不 符合题意
答 n的值为7或11
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发表于 2021-9-4 22:38:20 | 显示全部楼层
经验证:很多整数都不能表示为n(n≥2)个连续自然数的和.
4和8不能表示,16...估计2^n都不能表示为n(n≥2)个连续自然数的和.

对于:任何大於77的數均可表示成不同正整數之和,且它們的倒數之和等於1。组合数太庞大,找不到头绪

小于77的几个数据
31=2+4+5+20, 1/2+1/4+1/5+1/20=1
32=2+3+9+18, 1/2+1/3+1/9+1/18=1
37=2+3+8+24, 1/2+1/3+1/8+1/24=1
54=2+3+7+42, 1/2+1/3+1/7+1/42=1

点评

可以了解 一下埃及分數,以及貪婪求值法,從分數入手,再看分母的加和是否等於一  发表于 2021-9-5 01:02
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 楼主| 发表于 2021-9-5 01:16:02 | 显示全部楼层
我想可以用埃及分數的貪婪求值法,先從78算起:

1=78/78=1/2+...

但是很明顯2太小了,加不到78,那就把小於78的整數都用貪婪法試一遍。

同時,為甚麼是77,這也是個問題。
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发表于 2021-9-5 07:07:43 | 显示全部楼层
从网上没有找到77以上的所有整数都可以表示为n个不同整数之和,且它们的倒数之和为1.
只是说有无穷多个整数满足你说的条件,无穷个整数不代表一切整数.

如果只找几个数随便验证一下,很好找.但是有时指定一个整数,要满足你说的条件,有时可能一下找不到答案.
下面是一个参考的网页
https://www.zhihu.com/question/389690159
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发表于 2021-9-5 09:22:36 | 显示全部楼层
初步算了一下78,没有成功
很多时候,要从2开始
胡乱写可以找到其它数
1/3+1/4+1/5+1/6+1/20=1,   38满足
1/2+1/6+1/8+1/12+1/15+1/18+1/360=1,   421满足
1/2+1/6+1/8+1/12+1/20+1/30+1/42+1/56=1,  176满足
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发表于 2021-9-5 10:16:27 | 显示全部楼层
一些研究成果
全部由奇数组成的倒数之和为1
http://oeis.org/201644
1/3+1/5+1/7+1/9+1/11+1/15+1/35+1/45+1/231 = 1
http://oeis.org/A201646
3, 5, 7, 9, 11, 15, 21, 135, 10395
http://oeis.org/A201647
3, 5, 7, 9, 11, 15, 21, 165, 693
3, 5, 7, 9, 11, 15, 21, 231, 315
3, 5, 7, 9, 11, 15, 33, 45, 385
3, 5, 7, 9, 15, 21, 27, 35, 63, 105, 135
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发表于 2021-9-5 11:40:38 | 显示全部楼层
你的这个问题在这本书中有记录
<数论中未解决的问题>208页,graham证明的,但我没有搜到他的证明

点评

請問77這個數字是他證明的嗎?  发表于 2021-9-5 14:40
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