S,T 是向量空间 V 的子空间，证明：在 S+T={s+t｜s∈S，t∈T} 中，向量加法与数乘封闭

jiewenji

假设 S 与 T 是向量空间 V 的两个子空间。
(a) 定义：总和 S + T 包含所有的 s + t，其中 s 来自 S 且 t 来自 T。证明 S + T 满足向量空间的要求(加法与纯量乘法)。

证明：(a) If u and v are both in S + T then u = s 1+ t 1 and v = s 2+ t 2. So u + v =(s 1 + s 2 )+(t 1 + t 2 ) is also in S+T. And so is cu = cs 1 +ct 1 : S +T = subspace.

上面证明下划线部分没看懂。为什么前面的陈述能推出So后面的结论。依据什么定理或性质？我感觉下划线部分要成立的前提使S+T是向量空间。但是这恰恰是需要证明的命题。这不变成循环论证了？