创建一个 2x2 矩阵使得零空间等于列空间。

jiewenji

如何找到一个“创建一个 2x2 矩阵使得零空间等于列空间。”的方法？已经看过答案。
0  1
0  0
答案明显正确，但是有什么有效的通用求解方法么？在没看到答案之前可以推导出这个答案。另外，为什么2x2 矩阵零空间必然能找到一个相等的列空间？

mathe

列空间等于零空间，说明矩阵A的每一列作为列向量右乘此矩阵都是零向量，所以$A^2=O$
这说明A的所有特征值都是0，而且化作若当标准型以后，每个分块的大小都是2x2或者1x1.
也就是若当标准型形如diag{B,B,B,...,B,0,0,0,...,0},其中\(B=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\).
而n阶矩阵列空间维数等于矩阵的秩r，零空间维数为n-r (n为矩阵的阶）。很显然，两个空间相等必须要求r=n-r,也就是n=2r.
上面若当标准型中，r就等于B的数目，所以上面标准型中0的数目只能是0，不然n>2r
所以最终满足条件的矩阵的若当标准型只能是diag{B,B,B,...,B}. 显然矩阵的阶只能是偶数。
特别n=2时，可以直接选择B作为一个参考答案。

jiewenji

mathe 发表于 2021-9-15 14:55
列空间等于零空间，说明矩阵A的每一列作为列向量右乘此矩阵都是零向量，所以$A^2=O$
这说明A的所有特征值 ...

谢谢你的解答。
1、“列空间等于零空间，说明矩阵A的每一列作为列向量右乘此矩阵都是零向量，” ------这一点没跟上你的思路。列空间等于零空间，为什么要矩阵A的每一列作为列向量右乘矩阵都是零向量？列空间等于零空间在我头脑中想到的结论是矩阵A的某种“列”线性组合的结果右乘矩阵A可能得到0向量。但是你说“A的每一列”不就相当于把列的线性组合限制为1*列1 + 0*列二，和0*列1+1*列2 两种可能了么？请问为什么要把“任意”线性组合缩减为只有两种选择？应该如何理解？

2、这道题是零空间这一节的课后题。目前还没有学到“若当标准型”“特征值”相关的内容。是不是没学这些内容就无法理解该问题？

mathe

既然任何线性组合都可以，那么这两特殊的自然也可以

jiewenji

mathe 发表于 2021-9-15 16:50
既然任何线性组合都可以，那么这两特殊的自然也可以

列空间等于零空间，说明矩阵A的每一列作为列向量右乘此矩阵都是零向量，所以A2=O

这一句想明白了。不知道是否可以绕过后面的知识解出这道题