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[求助] 创建一个 2x2 矩阵使得零空间等于列空间。

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发表于 2021-9-15 13:58:52 | 显示全部楼层 |阅读模式
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毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-9-15 14:55:33 | 显示全部楼层
列空间等于零空间,说明矩阵A的每一列作为列向量右乘此矩阵都是零向量,所以$A^2=O$
这说明A的所有特征值都是0,而且化作若当标准型以后,每个分块的大小都是2x2或者1x1.
也就是若当标准型形如diag{B,B,B,...,B,0,0,0,...,0},其中\(B=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\).
而n阶矩阵列空间维数等于矩阵的秩r,零空间维数为n-r (n为矩阵的阶)。很显然,两个空间相等必须要求r=n-r,也就是n=2r.
上面若当标准型中,r就等于B的数目,所以上面标准型中0的数目只能是0,不然n>2r
所以最终满足条件的矩阵的若当标准型只能是diag{B,B,B,...,B}. 显然矩阵的阶只能是偶数。
特别n=2时,可以直接选择B作为一个参考答案。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2021-9-15 15:30:58 | 显示全部楼层
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毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-9-15 16:50:02 来自手机 | 显示全部楼层
既然任何线性组合都可以,那么这两特殊的自然也可以
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2021-9-15 18:13:02 | 显示全部楼层
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