〔經典〕整邊直角三角形

ejsoon

一個經典的題目：一個三角形的面積是84平方單位，且它的邊長都是整數，求這樣的三角形。

上題一共有三種解，只要你能列舉出84平方以下的直角三角形。

另一個經典問題：一個正方形劃分為多個直角三角形，且每個三角形每條邊都是整數，有幾種方法。

就我讀的書《數學的味道》介紹，最少的切法為五塊三角形，最短邊正方形的切法能切出七塊三角形。

不過不知有沒有證明出這是最佳解法，各位如果有數學工具，可否一試？

mathe

任意选择一个三边长度都是有理数而且面积也是有理数的锐角三角形AEF,在边EA外侧做角EAB使得这个角的正弦和余弦都是有理数而且角EAB+角EAF小于直角。
过A,E分别做AB的垂线，过F做AB的平行线，我们可以构造出一个矩形ABCD。容易看出此矩阵的各条边长也是有理数,而且BE,CF等也都是有理数。对此图进行纵横比调整就可以得到一个边长为有理数的正方形ABCD。这时做再三角形AEF的任意一条高，就可以将此正方形分成5个边长都是有理数的直角三角形。乘上适当的整数以后所有边长可以变为整数。

ejsoon

一个三边长度都是有理数而且面积也是有理数的锐角三角形AEF
ej:目前我只知道用兩個直角三角形拼出的銳角三角形，它的面積才可能是整數。

好像你想說的應該是「整數」而非「有理數」，因為任何面積和邊長都是有理數。

mathe

我们可以选择三条边长分别为6,5,5的三角形，比如取AF=6,AE=EF=5, 于是
S(AEF)=12, $\sin/_EAF=4/5, \cos/_EAF=3/5$.
选择$\sin/_BAE=5/13,\cos/_BAE=12/13, AB=AE\cos/_BAE=60/13,EB=AE\sin/_BAE=25/13$
$\sin/_BAF=63/65, sin/_FAD=16/65, AD=378/65$.

有理数不是问题，但是长方形挤压成正方形以后不行，所以要求开始构造必须AB=AD才行。

ejsoon

兩種整邊切三角形方法

論壇沒有旋轉圖片的方法，不過看官可以自行旋轉手機或轉頭。

mathe

分5份的图还是挺多的，只是好像除了穷举没有很好的解方程的方法。
设正方形边长为d, 上边分为a,d-a, 右边分为d-u,u.
于是要求a,d是直角三角形的两边, u,d也是直角三形的两边，d-a,d-u也是直角三角形的两边。
对于任意这样穷举出来的构图，再次将中间三角形任意做一条高，容易证明高的长度必然是有理数，而且高将底边分成的两段长度也是有理数。然后将所有长度同时乘上有理数的公共分母即可。
比如计算机可以找到一个解a=105,u=224,d=360,由此可以计算得到中间三角形三边长度为289，375，424. 面积53040, 于是289边的高为6240/17
将所有边长在乘上17，也就是该a=1785,u=3808,d=6120可以得到一个将正方形划分为5个整数边直角三角形的方案

ejsoon

mathe 发表于 2021-9-27 16:42
分5份的图还是挺多的，只是好像除了穷举没有很好的解方程的方法。
设正方形边长为d, 上边分为a,d-a, 右边 ...

如果題目中只規定劃分成任意整邊三角形，這樣是可以的。

不過如果題目中規定要劃分為多個整邊直角三角形，恐怕這個方法還不行，因為中間的銳角三角形不一定能劃分為兩個整邊直角三角形。