左逆等于右逆是否有前提条件？

jiewenji

注释 2 矩阵 A 不可能存在两个不同的逆矩阵。假设 BA = I 且 AC = I，依据“括 号证明法”可以得到 B = C：

B(AC) = (BA)C 得到 BI = IC 或是 B = C

上式证明了“左逆矩阵”B(从左乘)与“右逆矩阵”C(从右乘 A 得到 AC = I) 必须是相同的矩阵。


————-课上老师好像说过必须是方阵，左逆才等于右逆。所以左逆等于右逆到底有没有方阵这个前提？

kastin

肯定有，因为你的证明过程默认了这些矩阵可以随便相乘。你似乎没有考虑过这个问题——不同的矩阵能否随便相乘，没有任何行列数的要求？

lihpb01

行列数不一样的话，左逆和右逆的行列数也不一样，得出的单位矩阵I的阶数也不一样

jiewenji

lihpb01 发表于 2021-9-18 00:40
行列数不一样的话，左逆和右逆的行列数也不一样，得出的单位矩阵I的阶数也不一样

也就是说存在左逆右逆同时存在，但是不相等的情况？

lihpb01

假设矩阵A是a*b阶，a不等于b。
逆矩阵B是b*a阶。
BA=I，此时I是b阶单位矩阵；
AB=I，此时I是a阶单位矩阵。

KeyTo9_Fans

lihpb01 发表于 2021-9-18 00:52
假设矩阵A是a*b阶，a不等于b。
逆矩阵B是b*a阶。
BA=I，此时I是b阶单位矩阵；
AB=I，此时I是a阶单位矩阵。

这样的A、B我好像找不出来。

因为矩阵的乘积的秩小于等于任何一个矩阵的秩。

不妨设a<b，这样A、B的秩都不超过a，

但BA=I，I为b阶单位矩阵，它的秩超过a了，

这与矩阵的乘积的秩小于等于任何一个矩阵的秩矛盾。

所以我找不到这样的例子。