一个数学分析问题

sadAC

f,g:[0,1]\(to\)[0,1]均为连续的双射，且0,1为f,g仅有的不动点，证明：存在h也为[0,1]\(to\)[0,1]的连续的双射，使fh=hg

mathe

f仅有不动点0和1,说明区间总有f(x)>x或f(x)<x.
我们不妨假设总有f(x)>x, 后面需要分别分析g(x)>x和g(x)<x两种不同情况，略有不同。
记$f_0(x)=x, f_1(x)=f(x),f_2(x)=f(f_1(x)),...,f_{k+1}(x)=f(f_k(x)),...$, 同样类似定义$g_k(x)$
由于f(x)>x, 所以对于任意给定的x, $f_0(x),f_1(x),...,f_k(x),...$单调递增而且有上界，必然有极限x*,而显然f(x*)=x*,故只能x*=1.
而对于g(x)>x的情况，同样会有$\lim_{k\to\infty} g_k(x)=1$. 而对于g(x)<x情况有$\lim_{k\to\infty}g_k(x)=0.
类似我们还可以定义$f_{-1}(x)$使得$f(f_{-1}(x))=x$等等

任意选择a,b在(0,1),
由于对于一切x需要f(h(x))=h(g(x)), 所以如果h(a)=b,那么我们得出h(g(a))=f(b),
故如果h(a)=b,那么$h(g_k(a))=f_k(b)$.
于是在g(x)>x时，我们可以先任意设定h在：(a,g(a)) ->(b,f(b))的一个单调增双射，而在g(x)<x时，我们任意设定h为(g(a),a) -> (b,f(b))的单调减双射。
容易看出这样定义的h在根据$h(g_k(a))=f_k(b)$可以唯一确定一个符合条件的h

sadAC

mathe 发表于 2021-9-19 22:07
f仅有不动点0和1,说明区间总有f(x)>x或f(x)x, 后面需要分别分析g(x)>x和g(x)x, 所以对于任意给定的x, $f_0( ...

问下最后三行，没看懂，为啥能确定h，h的连续性怎么解释

mathe

你可以自己找个具体例子试验一下