微分方程的解集可以看成一个线性空间，对么？

jiewenji

原题：求出满足下列方程式的函数空间的一组基底。
答案：y = x is a basis for all solutions to dy/dx = y/x (First-order linear equation \(\Rightarrow\) 1 basis function in solution space).




我想看清楚这道题的本质，以下是我的理解。写出来，希望老师能指出其中的错误。

一，所谓矩阵A的零空间，是因为Ax=0的解不唯一，而是存在一个集合。而这个集合恰好可以用向量的线性组合描述。因此我们管这个解的集合叫线性空间。假设一个3x4的矩阵A的秩是3，Ax=0的解一定不唯一。因为存在三个主元列和一个自由列。于是必然存在一个向量λ的线性组合cλ可以“描述”这个解集\(\Leftrightarrow\)向量λ生成了(span)了矩阵A的0空间\(\Longleftrightarrow\) Ax=0的所有解都在向量λ及其延长线上，即cλ(c为任意实数）。我们说矩阵A的秩是3，但是A的0空间是\(R^{4}\)的子空间，维度是1，有且只有一个基λ（当然也可以说5λ是基，但是5λ是基的时候，λ就不再是基。维度是1，两者只能有一个是基，不能同时当基）

二，回到本题，微分方程的解唯一？或者存在一个集合？这个集合是线性空间么？直接看dy/dx=y/x 是看不出来的，先解方程。
dy/dx=y/x
y'=y/x
y'/y=1/x
(lny)'=(lnx)'
积分得：
lny=lnx+lnC
y=Cx

由上可知dy/dx =y/x \(\Longleftrightarrow\)y=Cx \(\Longleftrightarrow\)y-Cx=0
以上三者的方程等价！(这么理解对么？）
红色是一个微分方程，蓝色是一个函数，深绿色的是一个线性方程。

深绿色线性方程的系数矩阵A是[C 1] ,其秩为n，有一个主元列，一个自由列(但自由列的系数C不确定）。因此其解不唯一，所有解属于存在一个集合(线性空间），也就是矩阵A的0空间，这个线性空间的基是(C,1)。
因此我们也可以说基底(C,1)或(2C,2)是这道题的答案。这与“ y = x is a basis for all solutions to dy/dx = y/x”是完全等价的。