乘积最大的分割法

manthanein

将一个实数分割成若干个实数的和，什么时候乘积最大？
这个问题不难，设实数为\(a\)，问题相当于求\(\D (\frac{a}{x})^x\)的最大值。于是乎问题就是当\(\D x=\lbrack\frac{a}{e}\rbrack\)以及当\(\D x=[\frac{a}{e}]+1\)时，哪个会让\(\D (\frac{a}{x})^x\)取到最大值。
如何判断？

ejsoon

好高深的問題，等待高手解答。不過我覺的應該限定在正實數，且大於1跟小於1可能是兩種不同的情況。

後来經過思考，寡人認為會不會就是e。

uk702

写程序实验了一下，当 a 为 >=3 整数时，x1=[a/e]，x2=[a/e]+1，通常而言，它们那个离 e 更接近，则 (a/x)^x 就更大。

但也有例外的情况，1000 以内，有 4 个例外，分别是 53, 246, 439, 632。

manthanein

uk702 发表于 2021-9-24 19:26
写程序实验了一下，当 a 为 >=3 整数时，x1=[a/e]，x2=[a/e]+1，通常而言，它们那个离 e 更接近，则 (a/x)^ ...

这四个例子小数点后两位都是49，可能是精度不够。
下面的问题时，对于正整数情况，能不能证明这一点

uk702

manthanein 发表于 2021-9-25 12:35
这四个例子小数点后两位都是49，可能是精度不够。
下面的问题时，对于正整数情况，能不能证明这一点

应该不是精度问题。

我们知道 \( (1+\frac{1}{n})^n \to e \) 但 \( (1+\frac{1}{n})^n  < e \) ，换句话说，\( (1+\frac{1+f(n)}{n})^n =e \)，其中 f(n) 是一个与 n 有关的纠偏量。

估计将 a 分割成 n 分取最大值时，也存在这样依赖于 n 的纠偏度量。