给定点P(a,b)和点Q(a,c)，尺规作点(a,b+c)

manthanein

如果\(b=c\)或者\(b=0\)或者\(c=0\)，那么没什么难的。所以假定\(b\ne c\)，\(b  \ne 0\)，\(c  \ne 0\)。

作直线PQ，交横轴于点\(T\)，显然\(T(a,0)\)。因而\(PT=\abs{b}\)，\(QT=\abs{c}\)。
以\(P\)为圆心，\(QT\)为半径作圆。圆的方程为\((x-a)^2+(y-b)^2=c^2\)。，
以\(Q\)为圆心，\(PT\)为半径作圆。圆的方程为\((x-a)^2+(y-c)^2=b^2\)。，
两圆的交点就是所求的点。

证明：
\((x-a)^2+(y-b)^2=c^2\)
\((x-a)^2+(y-c)^2=b^2\)
所以\(c^2-(y-b)^2=b^2-(y-c)^2\)
\((c+y-b)(c-y+b)=(b+y-c)(b-y+c)\)
所以\((b+c-y)(2b-2c)=0\)
所以\(y=b+c\)
所以交点为\((a,b+c)\)

manthanein

如法炮制可以作出点(a,b-c)

manthanein

这个作法的好处是基本不用考虑正负号

northwolves

只用规理论上也可以做出来

ejsoon

這兩圓始終是會相切的。

如果這樣做：設P>Q，以QT為半徑，以P為圓心作圓…這樣還需要分別判斷P跟Q的正負，一共有四種情況。

而樓主的方法可以不用判斷正負，直接在幾何方面體現正負。