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[原创] 给定点P(a,b)和点Q(a,c),尺规作点(a,b+c)

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发表于 2021-9-27 18:12:44 | 显示全部楼层 |阅读模式

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如果\(b=c\)或者\(b=0\)或者\(c=0\),那么没什么难的。所以假定\(b\ne c\),\(b  \ne 0\),\(c  \ne 0\)。

作直线PQ,交横轴于点\(T\),显然\(T(a,0)\)。因而\(PT=\abs{b}\),\(QT=\abs{c}\)。
以\(P\)为圆心,\(QT\)为半径作圆。圆的方程为\((x-a)^2+(y-b)^2=c^2\)。,
以\(Q\)为圆心,\(PT\)为半径作圆。圆的方程为\((x-a)^2+(y-c)^2=b^2\)。,
两圆的交点就是所求的点。

证明:
\((x-a)^2+(y-b)^2=c^2\)
\((x-a)^2+(y-c)^2=b^2\)
所以\(c^2-(y-b)^2=b^2-(y-c)^2\)
\((c+y-b)(c-y+b)=(b+y-c)(b-y+c)\)
所以\((b+c-y)(2b-2c)=0\)
所以\(y=b+c\)
所以交点为\((a,b+c)\)
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2021-9-27 18:13:41 | 显示全部楼层
如法炮制可以作出点(a,b-c)
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 楼主| 发表于 2021-9-27 18:27:49 | 显示全部楼层
这个作法的好处是基本不用考虑正负号
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发表于 2021-9-28 15:03:38 | 显示全部楼层
只用规理论上也可以做出来
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发表于 2021-9-28 16:59:47 | 显示全部楼层
這兩圓始終是會相切的。

如果這樣做:設P>Q,以QT為半徑,以P為圓心作圓…這樣還需要分別判斷P跟Q的正負,一共有四種情況。

而樓主的方法可以不用判斷正負,直接在幾何方面體現正負。
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