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[分享] 正七邊形內切二圓:如何證明?

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发表于 2021-10-3 18:40:26 | 显示全部楼层 |阅读模式

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正七邊形內切二圓.png

對角綫交點為圓心,作內切圓,正好跟另外的對角綫相切。

為何有這樣的性質?很優美,可以證明(相切)嗎?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2021-10-3 19:01:36 | 显示全部楼层
正七邊形是不能用尺規作圖的,若再加上「三等分儀」,是否可以作图?

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发表于 2021-10-3 22:15:07 | 显示全部楼层
确实出乎意料。
证明倒也不难吧,容易证明多边形角平分线共点。

点评

看5#  发表于 2021-10-7 06:18
你說的對,現在問題就是BF是不是角ABD的角平分綫。  发表于 2021-10-6 12:19
角平分线共点,自然就有内切圆,还有什么距离?  发表于 2021-10-5 06:55
角平分綫共點,離證明出二圓與對角綫相切,還有很長一段距離。  发表于 2021-10-4 18:27
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发表于 2021-10-4 13:55:48 | 显示全部楼层
ejsoon 发表于 2021-10-3 19:01
正七邊形是不能用尺規作圖的,若再加上「三等分儀」,是否可以作图?

可以。sin(π/7)和cos(π/7)的最小多项式为3次式。
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发表于 2021-10-7 05:59:05 | 显示全部楼层
容易证明多边形角平分线共点。

一、考虑正七边形的外接圆,由等弦对等弧、等弧对等角,易知∠ABF=∠DBF=∠AGC=∠EGC=2π/7
所以对角线BF、GC分别是∠ABD、∠AGE的角平分线。

二、同理,BE是∠GED和∠DBF的角平分线,GD是∠BDE和∠EGC的角平分线,故四边形BDEI、GEDH是镖形,两者共有内切圆K。
即五边形DEIJH有内切圆K。容易证明,K还是四点形HDEI的外接圆中心。
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 楼主| 发表于 2021-10-7 14:51:13 | 显示全部楼层
hujunhua 发表于 2021-10-7 05:59
容易证明多边形角平分线共点。

一、考虑正七边形的外接圆,由等弦对等弧、等弧对等角,易知∠ABF=∠DBF= ...

原来是這麼簡單的證明,看来寡人的水平還有待提高。
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