正七邊形內切二圓：如何證明？

ejsoon · 发表于 2021-10-3 18:40:26

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對角綫交點為圓心，作內切圓，正好跟另外的對角綫相切。

為何有這樣的性質？很優美，可以證明（相切）嗎？

ejsoon · 发表于 2021-10-3 19:01:36

正七邊形是不能用尺規作圖的，若再加上「三等分儀」，是否可以作图？

hujunhua · 发表于 2021-10-3 22:15:07

确实出乎意料。
证明倒也不难吧，容易证明多边形角平分线共点。

hujunhua · 发表于 2021-10-4 13:55:48

ejsoon 发表于 2021-10-3 19:01
正七邊形是不能用尺規作圖的，若再加上「三等分儀」，是否可以作图？

可以。sin(π/7)和cos(π/7)的最小多项式为3次式。

hujunhua · 发表于 2021-10-7 05:59:05

容易证明多边形角平分线共点。

一、考虑正七边形的外接圆，由等弦对等弧、等弧对等角，易知∠ABF=∠DBF=∠AGC=∠EGC=2π/7
所以对角线BF、GC分别是∠ABD、∠AGE的角平分线。

二、同理，BE是∠GED和∠DBF的角平分线，GD是∠BDE和∠EGC的角平分线，故四边形BDEI、GEDH是镖形，两者共有内切圆K。
即五边形DEIJH有内切圆K。容易证明，K还是四点形HDEI的外接圆中心。

ejsoon · 发表于 2021-10-7 14:51:13

hujunhua 发表于 2021-10-7 05:59
容易证明多边形角平分线共点。

一、考虑正七边形的外接圆，由等弦对等弧、等弧对等角，易知∠ABF=∠DBF= ...

原来是這麼簡單的證明，看来寡人的水平還有待提高。

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