一个关于二元函数的问题

manthanein

给定二元函数\(f\left( x{,}y\right)\)，\(x\ \in\left[ 0{,}1\right]\)，\(y\ \in\left[ 0{,}1\right]\)，已知：
（1）对于任意常数\(c\)，\(f\left( x{,}c\right)\)是关于\(x\)的连续函数。
（2）对于任意常数\(t\)，\(f\left( t{,}y\right)\)是关于\(y\)的严格单调递增连续函数。
（3）\(f\left( x{,}0\right)=0\)，\(f\left( 0{,}y\right)=y\)，\(f\left( 1{,}y\right)=0\)。
（4）当\(x\ne1\)，\(y\ne0\)时，\(f\left( x{,}y\right)>0\)。

问：
对于每一个固定的\(y_0\)，\(f\left( x{,}y_0\right)\)在\(\left[ 0{,}1\right]\)上一定有一个最大值\(g\left( y_0\right)\)。
当\(y\)趋于0时，\(g\left( y\right)\)是否趋于0？

mathe

反证，如果存在，存在趋向0的y序列使得g(y)下极限大于2e,对应的存在点列(x,y),纵坐标趋向0使得f(x,y)>e.
其中必然有子序列横坐标单调收敛到某x0。根据y的单调性，对于任意y坐标，充分接近x0处以后这些xi处y坐标都大于e,根据x方向连续性，得出f(x0,y)>=e.和f(x0,0)=0矛盾

manthanein

mathe 发表于 2021-10-4 08:37
反证，如果存在，存在趋向0的y序列使得g(y)下极限大于2e,对应的存在点列(x,y),纵坐标趋向0使得f(x,y)>e.
...

你这个回答我都没看懂……看来我水平真不高