有几组不同的取法？

王守恩

\(a_{k}\) 可取值 \( -1,0,1,\) 满足 \(S(n)=a_{1}^1+a_{2}^2 +a_{3}^3+...+a_{k}^k +...+a_{n}^n=0,\ S(n)\) 有几组不同的取法？
譬如：
\(S(1)=1\ \ \ 0^1=0\)
\(S(2)=3\ \ \ 0^1+0^2= (-1)^1+(-1)^2=(-1)^1+1^2=0\)
\(S(3)=7\ \ \ 0^1+0^2+0^3=0^1+(-1)^2+(-1)^3=0^1+1^2+(-1)^3=(-1)^1+0^2+1^3=1^1+0^2+(-1)^3=(-1)^1+(-1)^2+0^3=(-1)^1+1^2+0^3=0\)
\(S(4)=15\)
\(S(5)=43\)

markfang2050

别在这里继续发这了。

白新岭

有空也学习学习。

aimisiyou

暴力不是个好办法。

northwolves

三进制算了几项，貌似没什么规律：$1,3,7,15,43,87,267,531,1691,3333,10873,21309,70701,138015,463683,902547,......$

mathe

很无聊的题目，而且目的不明确。

王守恩

mathe 发表于 2021-10-9 17:42
很无聊的题目，而且目的不明确。

谢谢 mathe！就是想搞这么个东东出来。
Table[Table[CoefficientList[Series[(1 + x + x^2)^n, {x, 0, n}], x][[a]], {n, a - 1, 23}], {a, 1, 17}]
{1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,1},
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23},
{3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91,105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276},
{7, 16, 30, 50, 77, 112, 156, 210, 275, 352, 442, 546, 665, 800, 952, 1122, 1311, 1520, 1750, 2002, 2277},
{19, 45, 90, 161, 266, 414, 615, 880, 1221,1651, 2184, 2835, 3620, 4556, 5661, 6954, 8455, 10185, 12166,  14421},
{51, 126, 266, 504, 882, 1452, 2277, 3432, 5005, 7098, 9828,13328, 17748, 23256, 30039, 38304, 48279, 60214, 74382},
{141, 357, 784, 1554, 2850, 4917, 8074, 12727, 19383, 28665, 41328, 58276, 80580, 109497, 146490, 193249, 251713, 324093},
{393, 1016, 2304, 4740, 9042, 16236, 27742, 45474, 71955, 110448, 165104, 241128, 344964, 484500, 669294, 910822, 1222749},
{1107, 2907, 6765, 14355, 28314, 52624, 93093, 157950, 258570, 410346, 633726, 955434, 1409895, 2040885, 2903428, 4065963},
{3139, 8350, 19855, 43252, 87802, 168168, 306735, 536640, 905658, 1481108, 2355962, 3656360,  5550755, 8260934, 12075184},
{8953, 24068, 58278, 129844, 270270,  531531, 996216, 1791426, 3107430, 5222264, 8533660, 13599915,  21191555, 32355917},
{25653, 69576, 171106, 388752, 827190, 1665456, 3198312, 5895396, 10483934, 18062160, 30252180, 49402850, 78855339},
{73789, 201643, 502593, 1161615, 2520336, 5182008, 10171746, 19174572, 34880770, 61476590, 105328685,  175923090},
{212941, 585690, 1477035, 3465840, 7651632, 16031952, 32099094, 61757600, 114700530, 206429300, 361160835},
{616227, 1704510, 4343160, 10329336, 23162976, 49366674, 100640340, 197278710, 373455830, 685213815},

mathe

北极狐的前16项都没有问题。
使用我上面的公式，可以计算出
第100项是99166275749560917222431522782816519133955，
第1000项是1393048016580768103345203293150336354529396048491042939455287792918893150016438945433023174896508782428211149175741183248908762456206103732733359641720531128805680169021378716866094621615986791590340549530901249339404942286436415472293369608692252953803235032471472194487802377516110423134844646621243851746049721193305297104249976891608071900744699371338897359277547078956974279947085062043179700993833362997831464276921
这是O(n^2)的计算方法

王守恩

王守恩 发表于 2021-10-9 21:10
谢谢 mathe！就是想搞这么个东东出来。
Table[Table[CoefficientList[Series[(1 + x + x^2)^n, {x, 0,  ...

谢谢 mathe！就是因为这里有众多大神罩着，我才赖在这里不走的。
譬如：在二进制中，恰好有a个0的(n+1)位数有几个？
Table[Table[CoefficientList[Series[(1 + x)^n, {x, 1, n}], x][[a + 1]], {n, a, 23}], {a, 0, 17}]
{1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1},
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18,19, 20, 21, 22, 23},
{1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253},
{1, 4, 10, 20, 35,56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969, 1140, 1330, 1540, 1771},
{1, 5, 15, 35, 70, 126, 210, 330, 495, 715, 1001,1365, 1820, 2380, 3060, 3876, 4845, 5985, 7315, 8855},
{1, 6, 21, 56, 126, 252, 462, 792, 1287, 2002, 3003, 4368, 6188, 8568, 11628,  15504, 20349, 26334, 33649},
{1, 7, 28, 84, 210, 462, 924, 1716, 3003, 5005, 8008, 12376, 18564, 27132, 38760, 54264, 74613, 100947},
{1, 8, 36, 120, 330, 792, 1716, 3432, 6435, 11440, 19448, 31824, 50388, 77520, 116280, 170544, 245157},
{1, 9, 45, 165, 495, 1287, 3003, 6435, 12870, 24310, 43758, 75582, 125970, 203490, 319770, 490314},
{1, 10, 55, 220, 715, 2002, 5005, 11440, 24310,  48620, 92378, 167960, 293930, 497420, 817190},
{1, 11, 66, 286, 1001, 3003, 8008, 19448, 43758, 92378, 184756, 352716, 646646,  1144066},
{1, 12, 78, 364, 1365, 4368, 12376, 31824, 75582, 167960, 352716, 705432, 1352078},
{1, 13, 91, 455, 1820, 6188, 18564, 50388, 125970, 293930, 646646, 1352078},
{1, 14, 105, 560, 2380, 8568,  27132, 77520, 203490, 497420, 1144066},
{1, 15, 120, 680, 3060,  11628, 38760, 116280, 319770, 817190},
{1, 16, 136, 816, 3876,  15504, 54264, 170544, 490314},
{1, 17, 153, 969, 4845, 20349, 74613, 245157},
{1, 18, 171, 1140, 5985, 26334, 100947}}

王守恩

aimisiyou 发表于 2021-10-9 13:19
暴力不是个好办法。

暴力不是个好办法。

                        1,   1,    1,
                      1,   3,    3,      2,
                   1,  4,     7,     8,      5,      2,
                1,  6,   15,   22,     21,    12,     4,
             1,   7,   22,   43,   58,     55,    37,    16,    4,
          1,  9,   36,   87,  144,   171,  147,    90,    36,    8,
       1,  10, 46,  132,  267,  402,  462,  408,   273,  134,   44,   8,
    1,  12, 66, 224,  531,  936, 1266, 1332, 1089,  680, 312,  96,  16,
  1, 13, 79, 302,  821,1691,2733,3534,  3687, 3101,2081,1088, 424,112,16,
1,15,105,460,1425,3333,6115,9000,10755,10475,8283,5250,2600,960,240,32,
........
说明，
第2行：3=2*1+1,3=2*1+1,2=2*1
第3行：4=1+3,7=1+3+3,8=3+3+2,5=3+2,2=2
第4行：6=2*1+4,15=2*4+7,22=2*7+8,21=2*8+5,12=2*5+2,4=2*2
第5行：7=1+6,22=1+6+15,43=6+15+22,58=15+22+21,55=22+21+12,37=21+12+4,16=12+4,4=4
第6行：9=2*1+7,36=2*7+22,87=2*22+43,144=2*43+58
........
说明，譬如第 3 行：1,4,7,8,5,2
\(a_{k}\) 可取值 \(-1,0,1\)
满足\(a_{1}^1+a_{2}^2+a_{3}^3=-2\)有 1 组不同的取法。
满足\(a_{1}^1+a_{2}^2+a_{3}^3=-1\)有 4 组不同的取法。
满足\(a_{1}^1+a_{2}^2+a_{3}^3=0\)有 7 组不同的取法。
满足\(a_{1}^1+a_{2}^2+a_{3}^3=1\)有 8 组不同的取法。
满足\(a_{1}^1+a_{2}^2+a_{3}^3=2\)有 5 组不同的取法。
满足\(a_{1}^1+a_{2}^2+a_{3}^3=3\)有 2 组不同的取法。

补充内容 (2021-10-26 09:12):
主帖要的是 1,3,7,15,43,87,267,531,1691,3333, ...的通项公式。