将初等函数表示成R上处处收敛的幂级数的参数方程形式

manthanein

某些函数可以写成在\(R\)上处处收敛的幂级数，比如\(y=e^x\)。有些应该不行，比如\(\D y=\frac{1}{x}, x \in (0 ,+\infty)\)。
问题：能不能用参数方程的形式完成这一点？比如说\(x=p(t), y=P(t)\)，且\(p(t)\)和\(P(t)\)都是在\(R\)上处处收敛的幂级数。

manthanein

对于\(\D y=\frac{1}{x}\)，似乎令\(x=e^t\)，\(y=e^{-t}\)便可。其他更复杂的情况呢？

mathe

需要注意你的参数化表示后仅仅代表了这个函数的一部分，也就是解析的x>0部分。这样的表示对于初等函数自然是存在的

manthanein

mathe 发表于 2021-10-6 21:46
需要注意你的参数化表示后仅仅代表了这个函数的一部分，也就是解析的x>0部分。这样的表示对于初等函数自然 ...

只考虑定义在区间上且处处有定义的函数

mathe

要f(x)在一个开区间解析而不仅仅处处有定义了。
根据复变中共形映射，可以在复平面中将包含这个开区间的一小块领域通过共形映射映射到整个复平面。即这个共形映射为x(t),它是一个全纯函数，自然可以全平面泰勒展开.而同样由于f(x(t))也处处解析，也是全纯函数，自然也可以全平面泰勒展开。

mathe

具体例子如果f(x)在区间(a,b)解析，那么我们需要一个x(t)函数使得$x(-\infty)=a, x(+\infty)=b$
选择适当的$\lambda$并定义$x(t)=\frac{b\exp(\lambda t)+a }{\exp(\lambda t)+1}$,