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[原创] I-P投影矩阵的投影方向一定与P矩阵投影结果正交么?

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发表于 2021-10-7 13:50:22 | 显示全部楼层 |阅读模式

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本帖最后由 jiewenji 于 2021-10-7 21:44 编辑

若 P 是在通过(1, 1)的直线的 2x2 投影矩阵,则 I - P 是在_______的投影 矩阵。

原文:If P is the 2 by 2 projection matrix onto the line through (1, 1), then I - P is the projection matrix onto __ .

答案I-P is the projection matrix onto (1,-1) in the perpendicular direction to (1, 1)


疑惑:假设被投影的向量是b,

根据题干有 a=\(\begin{bmatrix}
1\\
1
\end{bmatrix}\)

投影矩阵P=\(\frac{aa^T}{a^Ta}\)=\(\frac{1}{2}\)\(\begin{bmatrix}
1&1\\
1&1
\end{bmatrix}\)

由Pb=\(\begin{bmatrix}
1\\
1
\end{bmatrix}\)

可以算出b=\(\begin{bmatrix}
1\\
1
\end{bmatrix}\)

根据上方求出的P,可以计算出I-P=\(\begin{bmatrix}
0.5&-0.5\\
-0.5&0.5
\end{bmatrix}\)

(I-P)b=\(\begin{bmatrix}
0\\
0
\end{bmatrix}\)

从上面结果没有投影到(1,-1)方向,而是投影到了(0,0)。所以是我哪里计算错了么?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
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