数学研发论坛

 找回密码
 欢迎注册
查看: 122|回复: 6

[提问] 空间两不相交直线的最短连接点可以用最小二乘法计算么?

[复制链接]
发表于 2021-10-14 09:32:22 | 显示全部楼层 |阅读模式

马上注册,结交更多好友,享用更多功能,让你轻松玩转社区。

您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?欢迎注册

x
点 P = (x, x, x)与 Q = (y, 3y, -1)在空间中的两条不相交的直线 上,选择 x 与 y 极小化距离平方||P - Q||\(^{2 }\) ,求出x,y的值。

用偏微分的方法:
f=(x-y)\(^{2 }\) + (x-3y)\(^{2 }\)  + (x-1)\(^{2 }\)

\(\frac{\vartheta f}{\vartheta x}\)=2(x-y)+2(x-3y)+2(x-1)----->6x-8y=2

\(\frac{\vartheta f}{\vartheta y}\)=2(x-y)+2(x-3y)*3+0------->8x-20y=0

由上求偏导,可以快速的得到线性方程组,下面解线性方程组

由第二个方程可知x=2.5y 代入第一个方程

y=2/7  x=5/7

但是求出来的点却不在两直线最短连线的交点上。我隐约觉得我建立的方程f丢失了 P要在满足(x,x,x) 条件的直线上这个约束条件。但也不确定。不知道上述求解过程错在了哪里?


另外,线性代数根据给出的一组数据点通过建立方程A\(\hat{ x}\)=b  ,通过b向A空间投影的方式,可以找到线性方程组最优系数向量\(\hat{ x}\),使得A\(\hat{ x}\)=p成立,其中p是b在A列空间中的投影。但是针对上面这种没有数据点的最优解问题,该方法是否可以胜任?求老师指教。

下图是geogebra中建立的方程3D图。可以看到y=2/7  x=5/7确实不在图形的最低点上!

1.jpg
2.jpg
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-10-16 08:01:45 | 显示全部楼层
x, y 并不是最后解啊。 P0(5/7,5/7,5/7) 和 Q0(2/7,6/7,-1) 才是。另外请比较a(x,y) 和 f(x,y), 最后一项不相同。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2021-10-16 19:30:47 | 显示全部楼层
ShuXueZhenMiHu 发表于 2021-10-16 08:01
x, y 并不是最后解啊。 P0(5/7,5/7,5/7) 和 Q0(2/7,6/7,-1) 才是。另外请比较a(x,y) 和 f(x,y), 最后一项不 ...

1.jpg

我的计算有错。上面是一个老师给出的完整解。对于这个解题过程我有个疑问。线性方程组部分的求解过程。原题目是求两个未知向量 P = (x, x, x)Q = (y, 3y, -1)在空间的最短距离。通过构建线性方程组,将问题转化为,求向量b(0,0,1)与 两个列向量(1,1,1)(-1,-3,0)某种线性组合得到的向量p 之间距离最短的问题。而原来的向量P Q反而消失不见了。


特别是在构建线性方程组时。
\(\begin{bmatrix}
1&-1\\
1&-3\\
1&0\\
\end{bmatrix}\)\(\begin{bmatrix}
x\\
y
\end{bmatrix}\)=\(\begin{bmatrix}
0\\
0\\
-1
\end{bmatrix}\)
的过程中,特别是等号右侧向量的两个0不好理解。原问题本来就是不知道P Q之间最短距离是多少?通过上面方程直接就将PQ相减得到的向量b的前两个单元写成0了。似乎对未知问题(P Q相减会得到什么?)直接给出了答案。为什么会这样?应该如何里解?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 7 天前 | 显示全部楼层
1.jpg

点评

这种基础太差的就别和他说了。把论坛搞的像小学生作业辅导班似的。  发表于 7 天前
一语点醒梦中人,多谢多谢!  发表于 7 天前

评分

参与人数 1威望 +2 金币 +2 贡献 +2 鲜花 +2 收起 理由
jiewenji + 2 + 2 + 2 + 2 很给力!

查看全部评分

毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 7 天前 | 显示全部楼层
任谁都有不明白的时候。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
您需要登录后才可以回帖 登录 | 欢迎注册

本版积分规则

小黑屋|手机版|数学研发网 ( 苏ICP备07505100号 )

GMT+8, 2021-10-24 21:42 , Processed in 0.070827 second(s), 20 queries .

Powered by Discuz! X3.4

© 2001-2017 Comsenz Inc.

快速回复 返回顶部 返回列表