空间两不相交直线的最短连接点可以用最小二乘法计算么？

jiewenji

点 P = (x, x, x)与 Q = (y, 3y, -1)在空间中的两条不相交的直线 上，选择 x 与 y 极小化距离平方||P - Q||\(^{2 }\) ，求出x，y的值。

用偏微分的方法：
f=(x-y)\(^{2 }\) + (x-3y)\(^{2 }\)  + (x-1)\(^{2 }\)

\(\frac{\vartheta f}{\vartheta x}\)=2(x-y)+2(x-3y)+2(x-1)----->6x-8y=2

\(\frac{\vartheta f}{\vartheta y}\)=2(x-y)+2(x-3y)*3+0------->8x-20y=0

由上求偏导，可以快速的得到线性方程组，下面解线性方程组

由第二个方程可知x=2.5y 代入第一个方程

y=2/7  x=5/7

但是求出来的点却不在两直线最短连线的交点上。我隐约觉得我建立的方程f丢失了 P要在满足(x,x,x) 条件的直线上这个约束条件。但也不确定。不知道上述求解过程错在了哪里？


另外，线性代数根据给出的一组数据点通过建立方程A\(\hat{ x}\)=b  ，通过b向A空间投影的方式，可以找到线性方程组最优系数向量\(\hat{ x}\)，使得A\(\hat{ x}\)=p成立，其中p是b在A列空间中的投影。但是针对上面这种没有数据点的最优解问题，该方法是否可以胜任？求老师指教。

下图是geogebra中建立的方程3D图。可以看到y=2/7  x=5/7确实不在图形的最低点上！

ShuXueZhenMiHu

x, y 并不是最后解啊。 P0(5/7,5/7,5/7) 和 Q0(2/7,6/7,-1) 才是。另外请比较a(x,y) 和 f(x,y), 最后一项不相同。

jiewenji

ShuXueZhenMiHu 发表于 2021-10-16 08:01
x, y 并不是最后解啊。 P0(5/7,5/7,5/7) 和 Q0(2/7,6/7,-1) 才是。另外请比较a(x,y) 和 f(x,y), 最后一项不 ...

我的计算有错。上面是一个老师给出的完整解。对于这个解题过程我有个疑问。线性方程组部分的求解过程。原题目是求两个未知向量 P = (x, x, x)与 Q = (y, 3y, -1)在空间的最短距离。通过构建线性方程组，将问题转化为，求向量b(0,0,1)与 两个列向量（1，1，1）(-1，-3，0)某种线性组合得到的向量p 之间距离最短的问题。而原来的向量P Q反而消失不见了。


特别是在构建线性方程组时。
\(\begin{bmatrix}
1&-1\\
1&-3\\
1&0\\
\end{bmatrix}\)\(\begin{bmatrix}
x\\
y
\end{bmatrix}\)=\(\begin{bmatrix}
0\\
0\\
-1
\end{bmatrix}\)
的过程中，特别是等号右侧向量的两个0不好理解。原问题本来就是不知道P Q之间最短距离是多少？通过上面方程直接就将PQ相减得到的向量b的前两个单元写成0了。似乎对未知问题（P Q相减会得到什么？）直接给出了答案。为什么会这样？应该如何里解？

ShuXueZhenMiHu

ShuXueZhenMiHu

任谁都有不明白的时候。