表示圆的一个函数，用参数方程画的曲线为什么与直角坐标方程画的不一样？

TSC999

有一个圆用参数方程表示如下：

$ x=(2 u^2 + 2 u + 6)/(u^2 + 1),   y=(3 u^2 + 4 u + 1)/(u^2 + 1) $,  用指令  Eliminate[ ]  消去参数 $ u $ 后可将其转换为直角坐标方程为：$ -y^2+4 y-15=x^2-8 x $。
但是用参数方程指令画出的圆，却与用隐函数指令画出的圆不一样。哪里出问题了？ 是转换成的直角坐标方程不对呢，还是画图指令不对？

参数方程转换成直角坐标方程的程序代码如下：

1. Clear["Global`*"];
   
2. Eliminate[{x == (2 u^2 + 2 u + 6)/(u^2 + 1),
   
3.   y == (3 u^2 + 4 u + 1)/(
   
4.    u^2 + 1)}, {u}] (*已知 x、y 的参数方程，消去参数 u 求 x、y 间的关系*)
   

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用参数方程指令画圆与用隐函数指令画圆，结果不一样：

1. Clear["Global`*"];
   
2. ParametricPlot[{(2 u^2 + 2 u + 6)/(u^2 + 1), (3 u^2 + 4 u + 1)/(
   
3.   u^2 + 1)}, {u, -8, 8}]
   
4. ContourPlot[{ -y^2 + 4 y - 15 == x^2 - 8 x}, {x, 0,
   
5.    8}, {y, -2, 6}, Axes -> True, Frame -> False]

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上面两条指令运行结果如下 (用图片表示)：

gxqcn

是不是两个图的坐标原点不同，导致了你的误判？

TSC999

用 mathematica 的参数方程画图指令  ParametricPlot [  ]  画出的圆，乍看好像是与用隐函数作图指令 ContourPlot [  ]  画出的圆不一样，其实是一样的。

参数方程画的坐标系是把纵轴画在  x=2 处了，而隐函数作图画的坐标系是把纵轴画在 x=0  的。

wayne

因为u的定义域是开区间, 少了一个无穷远点. u在无穷远的地方的时候,对应的是点 $(2,3)$ 的邻域 ,消元后是 又把无穷远点给补上去了.所以ContourPlot  没问题.
ParametricPlot 的区间越大,  要画的点越多,为了兼顾计算性能,软件会有省略算法, 所以看上去 ParametricPlot 函数也有问题, 不过我们可以通过加选项绕过去.

1. m = 1000; ParametricPlot[{(2 u^2 + 2 u + 6)/(u^2 + 1), (3 u^2 + 4 u +  1)/(u^2 + 1)}, {u, -m, m}, PlotRange -> All, PlotPoints -> 500]

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