构造一个将正实数和实数一一对应的有理Lipschitz函数

manthanein · 发表于 2021-10-15 22:26:00

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对数函数满足Lipschitz条件，而且可以把正实数和实数一一对应，如果要求必须是有理函数（多项式有限次加减乘除），可以办到吗？

mathe · 发表于 2021-10-16 11:58:49

对数函数怎么满足？我查看了一下Lipschitz条件是要求$|f(a)-f(b)| \le K |a-b|$,但是对数函数在x=0附近是显然不满足的

manthanein · 发表于 2021-10-16 12:13:52

mathe 发表于 2021-10-16 11:58
对数函数怎么满足？我查看了一下Lipschitz条件是要求$|f(a)-f(b)| \le K |a-b|$,但是对数函数在x=0附近是显 ...

是我没想好，所以这样的函数存在吗？

mathe · 发表于 2021-10-16 13:27:51

一一映射显然不存在，这要求单调函数。但是不要求一一映射，可以选择函数$\sqrt{x}\sin(\sqrt{x})$

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[提问] 构造一个将正实数和实数一一对应的有理Lipschitz函数