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[讨论] 连续函数在闭区间上的积分的公理化定义

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发表于 2021-10-21 19:55:01 | 显示全部楼层 |阅读模式

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本帖最后由 manthanein 于 2021-10-21 19:56 编辑

https://www.doc88.com/p-8951676904894.html

我们模仿这篇论文的思路,假设一元函数\(y=f(x)\)定义在\([a,b]\)上且在\([a,b]\)上连续,那么给出表达式\(\D \int_{a}^bf(x)dx\),规定:
(1)\(\D \int_{a}^cf(x)dx+\int_{c}^bf(x)dx=\int_{a}^bf(x)dx\),其中\(a\leq c \leq b\)。

(2)若\(f(x)+g(x)=h(x)\),那么\(\D \int_{a}^bf(x)dx+\int_{a}^bg(x)dx=\int_{a}^bh(x)dx\)。

(3)\(\D \int_{a}^b mdx=m(b-a)\)

(4)若在\([a,b]\)上\(f(x)\geq 0\),那么\(\D \int_{a}^bf(x)dx \geq 0\)

原论文已经证明如果这么定义出来的积分存在,那么它一定唯一。
那么如何证明其存在性?既然都这么定义了,应该有更好的证明。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
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