连续函数在闭区间上的积分的公理化定义

manthanein

https://www.doc88.com/p-8951676904894.html

我们模仿这篇论文的思路，假设一元函数\(y=f(x)\)定义在\([a,b]\)上且在\([a,b]\)上连续，那么给出表达式\(\D \int_{a}^bf(x)dx\)，规定：
（1）\(\D \int_{a}^cf(x)dx+\int_{c}^bf(x)dx=\int_{a}^bf(x)dx\)，其中\(a\leq c \leq b\)。

（2）若\(f(x)+g(x)=h(x)\)，那么\(\D \int_{a}^bf(x)dx+\int_{a}^bg(x)dx=\int_{a}^bh(x)dx\)。

（3）\(\D \int_{a}^b mdx=m(b-a)\)

（4）若在\([a,b]\)上\(f(x)\geq 0\)，那么\(\D \int_{a}^bf(x)dx \geq 0\)

原论文已经证明如果这么定义出来的积分存在，那么它一定唯一。
那么如何证明其存在性？既然都这么定义了，应该有更好的证明。