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[讨论] 多虫追逐行程计算问题

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发表于 2021-10-28 20:38:12 | 显示全部楼层 |阅读模式

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On each of the vertices of a regular n-gon with sides of length 1, a bug is placed. Each bug walks directly toward the bug that started at the adjacent vertex counterclockwise from its vertex. Of course, the bug at the adjacent vertex is also moving so the bugs will spiral in toward the center of the n-gon as shown in the figure below for n = 5. How far does each bug travel?

adv189_bugs.png
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-10-29 20:13:53 | 显示全部楼层
边长为1,假设虫子移动速度也为1,由于虫子移动方向一直和移动路径相切,所以花费的时间会正好等于路径的长度。
a.png
如上图,A点虫子向B移动,B点虫子向C移动,速度都是1,
那么两者相对速度为AI,其大小即HB=\(2\cos\left(\frac{(n-2)\pi}{2n}\right)\)
所以相对B, A在向B移动的同时会同时绕着B转动,其中径向速度为\(2\cos^2\left(\frac{(n-2)\pi}{2n}\right)\)
由于两者初始相对距离为1,径向速度为\(2\cos^2\left(\frac{(n-2)\pi}{2n}\right)\),所以经过时间\(\frac1{2\cos^2\left(\frac{(n-2)\pi}{2n}\right)}\)后两者相遇。
所以每条虫子移动的路径长度也为\(\frac1{2\cos^2\left(\frac{(n-2)\pi}{2n}\right)}\)。
本题中n=5,结果为\(1+\frac{\sqrt{5}}5\)
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-11-2 17:37:30 | 显示全部楼层
有趣,不知形成的螺綫叫甚麼?

我的系統是LINUX,請問上面的螺旋圖可以用一個在linux上運行的數學軟體来作嗎?

点评

C,python.matlab,R,rust各种语言都可以实现。  发表于 2021-11-5 13:21
等角螺线  发表于 2021-11-3 08:06
不過單就本題而言,可能js+canvas或者python就可以解決。  发表于 2021-11-3 00:22
我聽說mathmatic軟體,有一個免費版,好像linux也能運行,我想學那個。  发表于 2021-11-3 00:20
当然可以!自己编程就可以实现!  发表于 2021-11-2 18:12
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2021-11-5 13:18:33 | 显示全部楼层
对数螺线的弧长
对数螺线的弧长.png
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2021-11-5 13:28:54 | 显示全部楼层
给出二维及三维计算机模拟的几个实例。
8只虫子在正方体顶点外接球内追逐的动态变化曲线_1.jpeg
4只虫子在正四面体顶点外接球内追逐的动态变化曲线_3.jpeg
6只虫子追击的动态变化曲线_1.jpeg

点评

不知立體的情況,是由哪個蟲子追哪個。  发表于 2021-11-5 17:31
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
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