多虫追逐行程计算问题

markfang2050

On each of the vertices of a regular n-gon with sides of length 1, a bug is placed. Each bug walks directly toward the bug that started at the adjacent vertex counterclockwise from its vertex. Of course, the bug at the adjacent vertex is also moving so the bugs will spiral in toward the center of the n-gon as shown in the figure below for n = 5. How far does each bug travel?

mathe

边长为1，假设虫子移动速度也为1，由于虫子移动方向一直和移动路径相切，所以花费的时间会正好等于路径的长度。

如上图，A点虫子向B移动，B点虫子向C移动，速度都是1，
那么两者相对速度为AI,其大小即HB=\(2\cos\left(\frac{(n-2)\pi}{2n}\right)\)
所以相对B, A在向B移动的同时会同时绕着B转动，其中径向速度为\(2\cos^2\left(\frac{(n-2)\pi}{2n}\right)\)
由于两者初始相对距离为1,径向速度为\(2\cos^2\left(\frac{(n-2)\pi}{2n}\right)\)，所以经过时间\(\frac1{2\cos^2\left(\frac{(n-2)\pi}{2n}\right)}\)后两者相遇。
所以每条虫子移动的路径长度也为\(\frac1{2\cos^2\left(\frac{(n-2)\pi}{2n}\right)}\)。
本题中n=5,结果为\(1+\frac{\sqrt{5}}5\)

ejsoon

有趣，不知形成的螺綫叫甚麼？

我的系統是LINUX，請問上面的螺旋圖可以用一個在linux上運行的數學軟體来作嗎？

markfang2050

对数螺线的弧长

markfang2050

给出二维及三维计算机模拟的几个实例。