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[讨论] 有个含三次根式的复数算式,如何用 mathematica 化简?

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发表于 2021-11-6 10:01:03 | 显示全部楼层 |阅读模式

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本帖最后由 TSC999 于 2021-11-6 10:03 编辑

已知有三个复数算式如下图。它们都含有三次根式,能否用 mathematica  将它们化简? (已知化简结果为三个互不相等的实数表达式)

三个根.png
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-11-8 22:29:18 | 显示全部楼层
本帖最后由 zeroieme 于 2021-11-8 22:51 编辑

一眼看上去觉得是三次方程的根,果然mathematica也是这么认为的
  1. (Power[-17-ISqrt[8499],(3)^-1]+Power[-17+ISqrt[8499],(3)^-1])/(9Power[2,(3)^-1])//FullSimplify
复制代码

  1. Root[17 - 351 #1 + 729 #1^3 &, 3]
复制代码


如果觉得三角函数比Root简单的,可以复数展开后分别简化
  1. (Power[-17-ISqrt[8499],(3)^-1]+Power[-17+ISqrt[8499],(3)^-1])/(9Power[2,(3)^-1])//ComplexExpand//Simplify[Re[#]]+I*FullSimplify[Im[#]]&
复制代码

加上合并三角函数代码
  1. (Power[-17-ISqrt[8499],(3)^-1]+Power[-17+ISqrt[8499],(3)^-1])/(9Power[2,(3)^-1])//ComplexExpand//Simplify[Re[#]]+I*FullSimplify[Im[#]]&//{#,Level[#,\[Infinity]]//{Cases[#,Cos[_]],Cases[#,Sin[_]]}&//Flatten//({#->#[[0]][\[Alpha]],\[Alpha]->#[[1]]})&/@#&}&//{#[[1]]/.#[[2,All,1]],#[[2,All,2]]//DeleteDuplicates}&//{Coefficient[#[[1]],Sin[\[Alpha]]],Coefficient[#[[1]],Cos[\[Alpha]]],#[[-1]]}&//rCos[\[Alpha]-\[Beta]]/.{r->Sqrt[#[[1]]^2+#[[2]]^2],#[[-1,1]],\[Beta]->ArcTan[#[[2]],#[[1]]]}&
复制代码


当然用RootReduce之后套用三次方程的三角函数求根公式也行
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 楼主| 发表于 2021-11-9 12:21:56 | 显示全部楼层
本帖最后由 TSC999 于 2021-11-9 12:23 编辑

谢谢 2# 的大侠给出的化简程序。

有没有比下面更简单的三角函数和差化积程序?

和差化积程序.png

上面的程序代码是:

  1. 1/9 Sqrt[13] (Sqrt[3] Sin[1/3 ArcTan[Sqrt[8499]/17]] +
  2.        Cos[1/3 ArcTan[Sqrt[8499]/17]]) // {#,
  3.       Level[#, \[Infinity]] // {Cases[#, Cos[_]],
  4.            Cases[#, Sin[_]]} & //
  5.         Flatten // ({# -> #[[0]][\[Alpha]], \[Alpha] -> #[[1]]}) & /@ \
  6. # &} & // {#[[1]] /. #[[2, All, 1]], #[[2, All, 2]] //
  7.       DeleteDuplicates} & // {Coefficient[#[[1]], Sin[\[Alpha]]],
  8.     Coefficient[#[[1]], Cos[\[Alpha]]], #[[-1]]} & //
  9. r Cos[\[Alpha] - \[Beta]] /. {r ->
  10.      Sqrt[#[[1]]^2 + #[[2]]^2], #[[-1, 1]], \[Beta] ->
  11.      ArcTan[#[[2]], #[[1]]]} &
复制代码
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发表于 2021-11-9 12:53:18 | 显示全部楼层
本帖最后由 zeroieme 于 2021-11-9 14:17 编辑
TSC999 发表于 2021-11-9 12:21
谢谢 2# 的大侠给出的化简程序。

有没有比下面更简单的三角函数和差化积程序?


我只是练练手。
最后我说了,作为三次方程的根,可以用RootReduce得到最小三次方程,使用求根公式的三角形式,就只有一个三角函数项。    https://baike.sogou.com/v7552105.htm



~~~~~~~~~~~~
  1. ((-17-I Sqrt[8499])^(1/3)+(-17+I Sqrt[8499])^(1/3))/(9 2^(1/3))//Function[{InputData},InputData//RootReduce//First//(#[x])&//If[Exponent[#,x]!=3,FullSimplify[InputData],CoefficientList[#,x]//Thread[{d,c,b,a}->#]&//Join[{\[Lambda]->2Sqrt[b^2-3a c],\[Theta]->ArcCos[(-2 b^3+9a b c-27a^2 d)/(2(b^2-3a c)^(3/2))]}/.#,#]&//(3a)^-1 (\[Lambda] Cos[{\[Theta],2\[Pi]+\[Theta],4\[Pi]+\[Theta]}/3]-b)/.#&//Select[#,N[#]==N[InputData]&]&//First]&]
复制代码
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 楼主| 发表于 2021-11-9 13:55:37 | 显示全部楼层
本帖最后由 TSC999 于 2021-11-9 14:06 编辑

一元三次方程用三角函数方法解,这个我知道。现在抛开三次方程解法,只单纯说 1#  楼的算式如何化简。

用以下指令化简如何?

  1. Simplify@ComplexExpand[(
  2.   Power[-17 - I Sqrt[8499], (3)^-1] + Power[-17 + I Sqrt[8499], (
  3.    3)^-1])/(9 Power[2, (3)^-1])]   
  4. TrigFactor [1/9 Sqrt[13] (Sqrt[3] Sin[x/3] + Cos[x/3])] /.
  5. x -> ArcTan[Sqrt[8499]/17]
复制代码


上面的代码有个缺点,就是第二条语句是由第一条的结果来的。如果要消除这个缺点,就变成 2# 楼那样的代码,不过这个代码太长了,一时也难以读懂。有没有更好的办法?
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发表于 2021-11-9 14:16:12 | 显示全部楼层
本帖最后由 zeroieme 于 2021-11-9 20:03 编辑
TSC999 发表于 2021-11-9 13:55
一元三次方程用三角函数方法解,这个我知道。现在抛开三次方程解法,只单纯说 1#  楼的算式如何化简。

...


TrigFactor可以啊,我只是先用Cases抓出三角函数变成替换规则。


~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
  1. (Power[-17-I Sqrt[8499],(3)^-1]+Power[-17+I Sqrt[8499],(3)^-1])/(9 Power[2,(3)^-1])//ComplexExpand//Simplify@#&//(*三角函数捕抓段*){#,Level[#,\[Infinity]]//{Cases[#,Cos[_]],Cases[#,Sin[_]]}&//Flatten//#[[All,1]]&//Union//MapIndexed[#1->Subscript[\[Theta], #2[[1]]]&,#]&}&(*三角函数捕抓段*)//{#[[1]]/.#[[2]]//TrigFactor,Reverse/@#[[2]]}&//#[[1]]/.#[[2]]&
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