证明序列的有理性

mathe

计算了一下，曲线$y^2=x^3+px+q$的对偶曲线好像是
$(16*p^6 + 216*q^2*p^3 + 729*q^4)*x^6 + ((72*q*p^4 + 486*q^3*p)*y^2 + (-96*p^5 - 648*q^2*p^2)*y + (-216*q*p^3 - 1458*q^3))*x^4 + ((-4*p^5 - 27*q^2*p^2)*y^4 + (-144*q*p^3 - 972*q^3)*y^3 + (120*p^4 + 810*q^2*p)*y^2 + (108*p^3 + 729*q^2))*x^2 + ((-16*q*p^3 - 108*q^3)*y^6 + (16*p^4 + 108*q^2*p)*y^5 + (16*p^3 + 108*q^2)*y^3)=0$
也即是如果上面的三次曲线有无穷个有理点，那么下面这个六次曲线也同样会有无穷个有理点。
但是一般三次曲线的对偶曲线计算就有困难了。

xiaoshuchong

mathe 发表于 2022-4-7 16:21
计算了一下，曲线$y^2=x^3+px+q$的对偶曲线好像是
$(16*p^6 + 216*q^2*p^3 + 729*q^4)*x^6 + ((72*q*p^4 + ...

你的结果可以约掉一个$4p^3+27q^2$(即椭圆曲线的$\Delta$)

根据以下链接的结果

https://math.stackexchange.com/q ... f-an-elliptic-curve

整理得到

\[\begin{eqnarray*}
y^{2}&=&x^{3}+Ax+B\\X&=&\frac{3x^{2}+A}{Ax+2B-x^{3}}\\Y&=&\frac{-2y}{Ax+2B-x^{3}}\\0&=&Y^{6}\left(4A^{3}+27B^{2}\right)+Y^{4}\left(18X^{2}AB-24XA^{2}-54B\right)\\&&+Y^{2}\left(-X^{4}A^{2}-36X^{3}B+30X^{2}A+27\right)\\&&-4X^{6}B+4X^{5}A+4X^{3}
\end{eqnarray*}\]