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[分享] 抛厚硬币,侧面“朝上”的概率

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发表于 2021-11-17 14:36:30 | 显示全部楼层 |阅读模式

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本帖最后由 majer 于 2021-11-17 14:36 编辑

长方体的骰子,掷出各个数字的几率
https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... 5&fromuid=13531
(出处: 数学研发论坛)

感谢mathe(是四元数吧?)和版主northwolves。上面的问题以我意想不到的方式得到了解答。

为了方便后来者,我概括一下:这个问题在数学上没有意义;因为一般的长方体骰子不是“数学骰子”。

我们可以剥离一个标准骰子的物质属性,仅保留质地均匀和完美的几何形状(立方体),就可以用它模拟现实物理骰子的结果。如果两者有差异,也仅仅是物理骰子的做工不够完美。这样的理想骰子或其他对象就是数学的。但长方体骰子的物质属性没法被剥离,材质不同,但足够均匀且形状一样的长方体骰子,它们的概率结果从统计上看差异极大。所以没有一个所谓的标准数学骰子。

我个人想到这一问题,是十多年前在贴吧解决一个答案来自冯诺依曼的三面硬币问题。

问题:考虑硬币的高/厚度,问高度:横截面圆变径=多少时,投掷这样的硬币,结果为“侧面”的概率恰是1/3?

现在通过类似的思考,冯诺依曼当初给出的数学解答竟然是错误的(好吧他老人家用的就是投影模型。貌似要增加一个条件——硬币可以落在完全弹性吸收的表面上。这样对长方体骰子似乎应该也适用。但根据文献1 “如果你把角动量守恒的因素考虑进去,你会得到一个不同的答案。一个公平的三面硬币的宽度与直径之比应该是1/√3。描绘这一点的一种方法是将八个25分硬币粘在一起。我们还进行了实验,证实我们是对的,我们设计了一种方法来创造定制的硬币,具有不同的背、字和 "面 "的概率。”)……为了保证思考完整性,我把这一问题一并分享给大家。

参考文献

1.Probability, geometry, and dynamics in the toss of a thick coin
2.Teaching Bayesian Model Comparison With the Three-sided Coin



毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
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