如何用 mathematica 计算 x^2+y^2+2 z^2≤a 和 0≤x≤y≤z 围成的立体图形的体积？

TSC999

如何用 mathematica 计算 x^2+y^2+2 z^2 ≤ a 和 0≤x≤y≤z 围成的立体图形的体积？ 其中  a>0。

用以下代码计算，结果如下，但是这个结果不对。不知为何错了？

1. In[1]:= Clear["Global`*"];
   
2. Integrate[
   
3. Boole[x^2 + y^2 + 2 z^2 <= a && 0 <= x <= y <= z ], {x, 0, Sqrt[
   
4.   a]}, {y, 0, Sqrt[a]}, {z, 0, Sqrt[a]}, Assumptions -> a > 0]
   
5. 
   
6. Out[2]= (a^(3/2) (7 \[Pi]-tan^-1((4 Sqrt[2])/7)-12 cot^-1(Sqrt[2])))/(24 Sqrt[2])

复制代码

如果给 a 一个具体的值，比如令  a=4，则计算结果正确：

1. In[3]:= Clear["Global`*"];
   
2. Integrate[
   
3. Boole[x^2 + y^2 + 2 z^2 <= 4 && 0 <= x <= y <= z ], {x, 0, Sqrt[
   
4.   4]}, {y, 0, Sqrt[4]}, {z, 0, Sqrt[4]}]
   
5. 
   
6. Out[4]= 1/3 Sqrt[2] (\[Pi]+tan^-1(2 Sqrt[2])-6 cot^-1(Sqrt[2]))

复制代码

问题出在哪里？ 如何解决？ 是不是我的 mathematica  版本太低了？

nyy

我怎么感觉我在知乎上看到过这个问题？

TSC999

nyy 发表于 2021-11-19 14:10
我怎么感觉我在知乎上看到过这个问题？

原题在这里：
http://kuing.orzweb.net/viewthre ... &extra=page%3D1

在上面这个帖子里，网友使用的 mathematica 代码及其运行结果如下：



本人复制了网友的代码，在我的电脑上运行，但是结果跟他的不一样 （网友的结果对，本人的结果错），本人电脑运行结果如下：



说结果不一样，不是说表面形式不一样，是实质上不一样。因为将  a = 4  代入结果表达式以后，网友的数值是 0.320401，正确。 本人的数值是  3.28232，错误。不知道这个错误是如何造成的？

zeroieme

https://reference.wolfram.com/language/ref/Integrate.html
History
1988年引入 (1.0) | 1996年更新 (3.0) &#9642; 2003 (5.0) &#9642; 2014 (10.0) &#9642; 2019 (12.0)

https://reference.wolfram.com/language/ref/Boole.html
History
2004年引入 (5.1) | 2007年更新 (6.0)

TSC999

我的 mathematica 是 9.0 版，网友的是 7.0 版。7.0 的低版本计算结果反而是正确的。
如果  a 是一个具体的数值，比如 a=4，那么无论是 mathematica 7.0 还是 mathematica 9.0，算出的结果都相同。
如果先不给 a  赋值，两个版本计算出的字符公式就不一样，对字符公式中的 a 赋值后算出的数值当然也不一样了。
本问题所求的区域的体积，并不是椭球的八分之一，而是下面这个形状：

nyy

又是mathematica的bug