有什么规律?

王守恩

a(n)=Maximize\(\D\big[\ \sum_{k=1}^n\ \big\lceil\sin(k\ \theta)\ \big\rceil\ \big]\)     n=1,2,3,4,....
a(n)=1,2,3,4,4,5,6,7,7,8,9,10,10,11,12,12,13,14,15,15,...
特别地，把重复的数拉出来，有什么规律？
a(n)=4,7,10,12,15,18,20,23,25,28,31,33,36,39,41,44,47,49,52,54,57,60,62,...

northwolves

$a_{n}=2n+1+\floor((n+2)*(3-\sqrt(3))/2)$

王守恩

northwolves 发表于 2021-11-23 12:08
$a_{n}=2n+1+\floor((n+2)*(3-\sqrt(3))/2)$

谢谢 northwolves！根据 $a_{n}=2n+1+\floor((n+2)*(3-\sqrt(3))/2)$ 出来是这样一串数：

{4, 7, 10, 12, 15, 18, 20, 23, 25, 28, 31, 33, 36, 39, 41, 44, 47, 49, 52, 54, 57, 60, 62, 65, 68, 70, 73,
(75)76, 78, 81, 83, 86, 89, 91, 94, 97, 99, 102, 104, 107, 110, 112, 115, 118, 120, 123, (125)126, 128,
131, 133, 136, 139, 141, 144, 147, 149, 152, (154)155, 157, 160, 162, 165, 168, 170, 173, (175)176, 178,
181, (183)184, 186, 189, 191, 194, 197, 199, 202, (204)205, 207, 210, 212, 215, 218, 220, 223, (225)226,

其中有几项与1楼主帖出来的数有问题：(75,125,154,175,183,204,225)里的数是根据1楼主帖出来的数。

northwolves

没问题啊，前200项：
4 , 7 , 10 , 12 , 15 , 18 , 20 , 23 , 25 , 28 , 31 , 33 , 36 , 39 , 41 , 44 , 47 , 49 , 52 , 54 , 57 , 60 , 62 , 65 , 68 , 70 , 73 , 76 , 78 , 81 , 83 , 86 , 89 , 91 , 94 , 97 , 99 , 102 , 104 , 107 , 110 , 112 , 115 , 118 , 120 , 123 , 126 , 128 , 131 , 133 , 136 , 139 , 141 , 144 , 147 , 149 , 152 , 155 , 157 , 160 , 162 , 165 , 168 , 170 , 173 , 176 , 178 , 181 , 184 , 186 , 189 , 191 , 194 , 197 , 199 , 202 , 205 , 207 , 210 , 212 , 215 , 218 , 220 , 223 , 226 , 228 , 231 , 234 , 236 , 239 , 241 , 244 , 247 , 249 , 252 , 255 , 257 , 260 , 263 , 265 , 268 , 270 , 273 , 276 , 278 , 281 , 284 , 286 , 289 , 292 , 294 , 297 , 299 , 302 , 305 , 307 , 310 , 313 , 315 , 318 , 320 , 323 , 326 , 328 , 331 , 334 , 336 , 339 , 342 , 344 , 347 , 349 , 352 , 355 , 357 , 360 , 363 , 365 , 368 , 371 , 373 , 376 , 378 , 381 , 384 , 386 , 389 , 392 , 394 , 397 , 399 , 402 , 405 , 407 , 410 , 413 , 415 , 418 , 421 , 423 , 426 , 428 , 431 , 434 , 436 , 439 , 442 , 444 , 447 , 450 , 452 , 455 , 457 , 460 , 463 , 465 , 468 , 471 , 473 , 476 , 479 , 481 , 484 , 486 , 489 , 492 , 494 , 497 , 500 , 502 , 505 , 507 , 510 , 513 , 515 , 518 , 521 , 523 , 526 , 529

northwolves

等价于：

$a_{n}=3(n+1)+\floor((n+2)*(1-\sqrt(3))/2)$

$a_{n}=4+\floor{(\frac{7-sqrt(3)}{2})n-\sqrt(3)}$

王守恩

northwolves 发表于 2021-11-24 16:40
等价于：

$a_{n}=3(n+1)+\floor((n+2)*(1-\sqrt(3))/2)$

n场比赛胜m场，求最多连胜z场的所有情况。有什么规律？
0,0,0：1种情况，0，

1,0,0：1种情况，0，
1,1,1：1种情况，1,

2,0,0：1种情况，00
2,1,1：2种情况，01,10,
2,2,2：1种情况，2,

3,0,0：1种情况，000,
3,1,1：3种情况，001,010,100,
3,2,1：1种情况，101,
3,2,2：2种情况，02,20,
3,3,3：1种情况，3,

4,0,0：1种情况，0000,
4,1,1：4种情况，0001,0010,0100,1000,
4,2,1：3种情况，0101,1001,1010,
4,2,2：3种情况，002,020,200,
4,3,2：2种情况，102,201,
4,3,3：2种情况，03,30,
4,4,4：1种情况，4,

5,0,0：1种情况，00000,
5,1,1：5种情况，00001,00010,00100,01000,10000，
5,2,1：6种情况，00101,01001,01010,10001,10010,10100,
5,2,2：4种情况，0002,0020,0200,2000,
5,3,1：1种情况，10101,
5,3,2：4种情况，0102,0201,2001,2010,
5,3,3：3种情况，003,030,300,
5,4,2：1种情况，202,
5,4,3：2种情况，103,301,
5,4,4：2种情况，04,40,
5,5,5：1种情况，5,



补充内容 (2021-11-27 12:30):
譬如 5,4,3，2种情况，103,301,是说5场比赛胜4场，最多连胜3场有2种情况：胜1负1胜3，胜3负1胜1。

王守恩

王守恩 发表于 2021-11-26 12:21
n场比赛胜m场，求最多连胜z场的所有情况。有什么规律？
0,0,0：1种情况，0，

6楼的资料可以这样整理。有什么规律？
n场比赛胜m场，求最多连胜z场的所有情况。有什么规律？
    n=0, 1, 2, 3, 4, 5, 06, 07, 08, 09,  
0,0：1, 1, 1, 1, 1, 1, 01, 01, 01, 01,
1,1：0, 1, 2, 3, 4, 5, 06, 07, 08, 09,
2,1：0, 0, 0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28,
2,2：0, 0, 1, 2, 3, 4, 05, 06, 07, 08,
3,1：0, 0, 0, 0, 0, 1, 04, 10, 20, 35,
3,2：0, 0, 0, 0, 2, 6, 12, 20, 30, 42,  
3,3：0, 0, 0, 1, 2, 3, 04, 05, 06, 07,
4,1：0, 0, 0, 0, 0, 0, 00, 01, 05, 15,
4,2：0, 0, 0, 0, 0, 1, 06, 18, 40, 75,
4,3：0, 0, 0, 0, 0, 2, 06, 12, 20, 30,
4,4：0, 0, 0, 0, 1, 2, 03, 04, 05, 06,
5,1：0, 0, 0, 0, 0, 0, 00, 00, 00, 01,
5,2：0, 0, 0, 0, 0, 0, 00, 03, 16, 50,
5,3：0, 0, 0, 0, 0, 0, 02, 09, 24, 50,
5,4：0, 0, 0, 0, 0, 0, 02, 06, 12, 20,
5,5：0, 0, 0, 0, 0, 1, 02, 03, 04, 05,

王守恩

王守恩 发表于 2021-11-29 12:19
6楼的资料可以这样整理。有什么规律？
n场比赛胜m场，求最多连胜z场的所有情况。有什么规律？
    n=0, ...

譬如： 30场比赛胜利10场 最多连胜 4场的所有情况？
可以这样想：(先找答案，回头来整理思路)
由10个1(20个0)组成的30位二进制数(高位可以是0)，满足每个数中最多是4个1连在一起的，且4个1连在一起的必须有，这样的二进制数有多少个？
计算机出来应该不是大问题，可惜我有几个按钮不会用。求助各位网友！谢谢！

kastin

王守恩 发表于 2021-11-29 17:35
譬如： 30场比赛胜利10场 最多连胜 4场的所有情况？
可以这样想：(先找答案，回头来整理思路)
由10个1( ...

在至少出现4个连续1的情况中，排除至少出现5个连续1的情况，即为至多出现4个1连续且必须有的情形。

将4个连续1看成一个整体，与剩余的6个1和20个0一起排列，共27!/7!/20!种，同理，5个连续1视为整体，则有26!/6!/20!种，二者相减得(27!/7!-26!/6!)/20!=657800种。

王守恩

kastin 发表于 2021-12-1 15:20
在至少出现4个连续1的情况中，排除至少出现5个连续1的情况，即为至多出现4个1连续且必须有的情形。

...

谢谢 kastin ！我就奢望搞个7楼的整体公式(主帖应该是一个老话题，只是我的信息闭塞)
就7楼的某几行来说：9楼的公式还是有用的。
就7楼的某一行来说：通行公式慢一点也是可以有。

30场比赛胜利10场 最多连胜 4场的所有情况=3670800
29场比赛胜利10场 最多连胜 4场的所有情况=2652210
28场比赛胜利10场 最多连胜 4场的所有情况=1885674
..........
14场比赛胜利10场 最多连胜 4场的所有情况=280
13场比赛胜利10场 最多连胜 4场的所有情况=58
12场比赛胜利10场 最多连胜 4场的所有情况=6

{6, 58, 280, 960, 2667, 6412, 13860, 27600, 51480, 91014, 153868, 250432,
394485, 603960, 901816, 1317024, 1885674, 2652210, 3670800}

\(\D a(n)=\frac{n^7 - 54 n^6 + 1240 n^5 - 15870 n^4 + 124579 n^3 - 615516 n^2 +
  1816740 n - 2494800\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }{720}\)    n=12,13,14,15,...