有理表示的两个问题

creasson

1.  亏格为0的曲线/曲面，是否它的同阶有理表示均是双有理映射的。

例如：对于单位球面$ x^2 + y^2 + z^2 = 1$, 以及它的两个二阶有理表示：
\begin{align*}
        & x = \frac{{1 - {u^2} - {v^2}}}{{1 + {u^2} + {v^2}}},\quad y = \frac{{2u}}{{1 + {u^2} + {v^2}}},\quad z = \frac{{2v}}{{1 + {u^2} + {v^2}}} \\
        & x = \frac{{2(1 - s - t)}}{{2 - 2s + 2{s^2} - 2t + 2st + {t^2}}},\quad y = \frac{{2s}}{{2 - 2s + 2{s^2} - 2t + 2st + {t^2}}},\quad z = \frac{{2s - 2{s^2} + 2t - 2st - {t^2}}}{{2 - 2s + 2{s^2} - 2t + 2st + {t^2}}}
\end{align*}

两种表示之间的双有理映射为：
\begin{align*}
        & u = \frac{{2s}}{{4 - 4s + 2{s^2} - 4t + 2st + {t^2}}},\quad v = \frac{{2s - 2{s^2} + 2t - 2st - {t^2}}}{{4 - 4s + 2{s^2} - 4t + 2st + {t^2}}} \\
        & s = \frac{{2u}}{{1 + {u^2} + 2v + {v^2}}}, \quad  t = \frac{{2( - u + {u^2} + v + {v^2})}}{{1 + {u^2} + 2v + {v^2}}}
\end{align*}

2.  亏格为0的曲线/曲面，是否它的所有有理表示均是其最低阶有理表示的一个有理映射。

单位球的一个四阶有理表示为：
\[ x = \frac{{1 - {p^2}}}{{1 + {p^2}}}\frac{{1 - {q^2}}}{{1 + {q^2}}}, \quad  y = \frac{{1 - {p^2}}}{{1 + {p^2}}}\frac{{2q}}{{1 + {q^2}}}, \quad  z = \frac{{2p}}{{1 + {p^2}}} \]

它是前面表示的一个有理映射：
\[ u = \frac{{q(1 - {p^2})}}{{1 + {p^2}{q^2}}},  \quad   v = \frac{{p(1 + {q^2})}}{{1 + {p^2}{q^2}}} \]