如何从级数证明\(e^{At }\)是正交矩阵？

jiewenji

请看下图题干和答案。
第一问红线部分没问题，高亮部分结论怎么得出的？实际只知道\(\left\| u\left( t\right) \right\| ^{2}\)的导数等于0，\(\left\| u\left( t\right) \right\| ^{2}\)和\(\left\| u\left( 0\right) \right\| ^{2}\)是多少并不知道，怎么知道两者是否相等？或者其逻辑是既然\(\left\| u\left( t\right) \right\| ^{2}\)的导数等于0，说明\(\left\| u\left( t\right) \right\| ^{2}\)不随t的变化而变化，所以\(\left\| u\left( t\right) \right\| ^{2}\)恒等于\(\left\| u\left( 0\right) \right\| ^{2}\)，是么？

第二问，如果从指数证明还好办\(\begin{aligned}Q=e^{At}\\
Q^{T}=e^{-At}\\
QQ^{T}=e^{At}\cdot e^{-At}=e^{0}=I\end{aligned}\)

可非要从级数证明，怎么证？\(Q=e^{At}=I+At+\dfrac{\left( At\right) ^{2}}{2!}+\dfrac{\left( At\right) ^{3}}{3!}\ldots .\)
\(Q^{T}=e^{At}=I-At+\dfrac{\left( -At\right) ^{2}}{2!}+\dfrac{\left( -At\right) ^{3}}{3!}\ldots .\)

\(QQ^{T}=?\)


此外答案部分黄色高亮部分和前半部分的因果关系是什么？So 的很没道理