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[原创] Which area is larger, the one enclosed by the blue curve or by the red curve?

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发表于 2021-11-29 10:13:08 | 显示全部楼层 |阅读模式

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Which area is larger, the one enclosed by the blue curve or by the red curve?
Which area is larger, the one enclosed by the blue curve or by the red curve.png
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-11-29 12:53:14 | 显示全部楼层
蓝色\(\frac{2\sqrt{3}\pi}3\), 红色\(\frac{\sqrt[4]{\frac43}\sqrt{\pi}\Gamma(\frac14)}{2\Gamma(\frac74)}\), 红色略大(3.757), 蓝色(3.628)
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-11-29 16:05:25 | 显示全部楼层
我不知道怎么计算精确的面积,就用了随机投点的方法计算了近似面积,结果是红色区域更大:

sampling.png

这是随机投点的代码:
  1. #include<cstdio>
  2. #include<cstdlib>

  3. int n,b,r,i;
  4. double x,y;

  5. double f(double x,double y)
  6. {
  7.         return x*x+x*y+y*y;
  8. }

  9. double g(double x,double y)
  10. {
  11.         return x*x-x*y*y+y*y*y*y;
  12. }

  13. int main()
  14. {
  15.         printf("随机投点数目:");
  16.         scanf("%d",&n);
  17.         for(i=0;i<n;i++)
  18.         {
  19.                 x=(rand()+0.5)/8192-2;
  20.                 y=(rand()+0.5)/8192-2;
  21.                 if(f(x,y)<1)b++;
  22.                 if(g(x,y)<1)r++;
  23.         }
  24.         printf("投点面积:16\n蓝色区域内点数:%d\n蓝色区域面积:16*%d/%d=%lf\n",b,b,n,16.0*b/n);
  25.         printf("红色区域内点数:%d\n红色区域面积:16*%d/%d=%lf\n",r,r,n,16.0*r/n);
  26.         return 0;
  27. }
复制代码
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-11-29 16:37:08 | 显示全部楼层
得到的表达式 跟mathe完全一样. 数值结果跟 fans一样.
  1. n = 10; Integrate[Boole[x^2 + x y + y^2 <= 1], {x, -n, n}, {y, -n, n}]
复制代码
  1. n = 3; Integrate[Sqrt[4 - 3 y^4] Boole[4 - 3 y^4>=0], {y, -n, n}]
复制代码
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发表于 2021-11-29 18:56:44 | 显示全部楼层
已经确定 第二个没法再化简了 \[ 4 \sqrt[4]{\frac{4}{3}} \int_0^1 \sqrt{1-y^4} \, dy = \sqrt[4]{\frac{4}{3}} (\frac{8}{3}  K(-1))=\sqrt[4]{\frac{4}{3}}  \frac{2 \sqrt{\pi } \Gamma \left(\frac{1}{4}\right)}{3 \Gamma \left(\frac{3}{4}\right)} = 3.75678...\]
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发表于 2021-11-29 19:07:11 | 显示全部楼层
蓝色椭圆面积很好算,分别取y=x和y=-x可以解出短长半轴长度然后面积公式为$\pi a b$.
红色区域面积如wayne需要计算$\int_{-y_m}^{y_m} \sqrt(4-3y^4) dy$, 本质就是计算$\int_0^1 \sqrt{1-t^4}dt=1/4\int_0^1(1-s)^{1/2}s^{-3/4}ds=1/4B(3/2,1/4)$ (积分变换$s=t^4$)

点评

这题考察的就是Gamma函数。哈哈  发表于 2021-11-30 11:59
学习了. 以前不理解为啥定义Beta函数, 现在理解了, 后知后觉  发表于 2021-11-30 08:54
通过Beta函数的定义比较容易计算。当然最终还是可以转化为Gamma函数  发表于 2021-11-30 07:30
厉害厉害,还可以用Beta函数表达  发表于 2021-11-29 19:30
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发表于 2021-11-30 14:31:57 | 显示全部楼层
可以用直观图解法。
把祖暅原理应用于平面图形,把两条曲线都向y轴对中移正,得到对称图如下。
结果变成红出蓝4块,蓝出红2块,每块都差不多大,所以红线所围面积大于蓝线。
或者光看第一象限部分也行,红出蓝1块,蓝出红半块。
祖恒移变.PNG

点评

哦,对,是我算错了,是[1/2,1],不是[0,1]  发表于 2021-12-1 11:30
@wayne 你的结果不符合直观,验算了一下, 红出蓝每块是0.059209  发表于 2021-12-1 09:39
险胜  发表于 2021-11-30 22:19
实际上差的不小.红出蓝4块.每块面积是0.0322951 , 蓝出红2块,每块是0.0538279  发表于 2021-11-30 22:19
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发表于 2021-11-30 14:41:29 | 显示全部楼层
或者进一步把椭圆变成与之面积相等的圆,如下图。
移正1.PNG
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发表于 2021-12-1 08:05:46 | 显示全部楼层
wayne 发表于 2021-11-29 16:37
得到的表达式 跟mathe完全一样. 数值结果跟 fans一样.

     谢谢 wayne! a=1.00728       蓝色曲线包围的区域=红色曲线包围的区域。
  Integrate[Boole[x^2 + x y + y^2 <= 1.0072828854243328], {x, -\[Infinity], \[Infinity]}, {y, -\\[Infinity], \[Infinity]}]
  3.65402
  Integrate[Sqrt[4 - 3 y^4]Boole[4 - 3 y^4 >= 1.0072828854243328], {y, -\[Infinity], \[Infinity]}]
  3.65402
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