Which area is larger, the one enclosed by the blue curve or by the red curve?

markfang2050

Which area is larger, the one enclosed by the blue curve or by the red curve?

mathe

蓝色\(\frac{2\sqrt{3}\pi}3\), 红色\(\frac{\sqrt[4]{\frac43}\sqrt{\pi}\Gamma(\frac14)}{2\Gamma(\frac74)}\), 红色略大(3.757), 蓝色(3.628)

KeyTo9_Fans

我不知道怎么计算精确的面积，就用了随机投点的方法计算了近似面积，结果是红色区域更大：



这是随机投点的代码：

1. #include<cstdio>
   
2. #include<cstdlib>
   
3. 
   
4. int n,b,r,i;
   
5. double x,y;
   
6. 
   
7. double f(double x,double y)
   
8. {
   
9.         return x*x+x*y+y*y;
   
10. }
    
11. 
    
12. double g(double x,double y)
    
13. {
    
14.         return x*x-x*y*y+y*y*y*y;
    
15. }
    
16. 
    
17. int main()
    
18. {
    
19.         printf("随机投点数目：");
    
20.         scanf("%d",&n);
    
21.         for(i=0;i<n;i++)
    
22.         {
    
23.                 x=(rand()+0.5)/8192-2;
    
24.                 y=(rand()+0.5)/8192-2;
    
25.                 if(f(x,y)<1)b++;
    
26.                 if(g(x,y)<1)r++;
    
27.         }
    
28.         printf("投点面积：16\n蓝色区域内点数：%d\n蓝色区域面积：16*%d/%d=%lf\n",b,b,n,16.0*b/n);
    
29.         printf("红色区域内点数：%d\n红色区域面积：16*%d/%d=%lf\n",r,r,n,16.0*r/n);
    
30.         return 0;
    
31. }

复制代码

wayne

得到的表达式 跟mathe完全一样. 数值结果跟 fans一样.

1. n = 10; Integrate[Boole[x^2 + x y + y^2 <= 1], {x, -n, n}, {y, -n, n}]

复制代码

1. n = 3; Integrate[Sqrt[4 - 3 y^4] Boole[4 - 3 y^4>=0], {y, -n, n}]

复制代码

wayne

已经确定 第二个没法再化简了 \[ 4 \sqrt[4]{\frac{4}{3}} \int_0^1 \sqrt{1-y^4} \, dy = \sqrt[4]{\frac{4}{3}} (\frac{8}{3}  K(-1))=\sqrt[4]{\frac{4}{3}}  \frac{2 \sqrt{\pi } \Gamma \left(\frac{1}{4}\right)}{3 \Gamma \left(\frac{3}{4}\right)} = 3.75678...\]

mathe

蓝色椭圆面积很好算，分别取y=x和y=-x可以解出短长半轴长度然后面积公式为$\pi a b$.
红色区域面积如wayne需要计算$\int_{-y_m}^{y_m} \sqrt(4-3y^4) dy$, 本质就是计算$\int_0^1 \sqrt{1-t^4}dt=1/4\int_0^1(1-s)^{1/2}s^{-3/4}ds=1/4B(3/2,1/4)$ (积分变换$s=t^4$）

hujunhua

可以用直观图解法。
把祖暅原理应用于平面图形，把两条曲线都向y轴对中移正，得到对称图如下。
结果变成红出蓝4块，蓝出红2块，每块都差不多大，所以红线所围面积大于蓝线。
或者光看第一象限部分也行，红出蓝1块，蓝出红半块。

hujunhua

或者进一步把椭圆变成与之面积相等的圆，如下图。

王守恩

wayne 发表于 2021-11-29 16:37
得到的表达式 跟mathe完全一样. 数值结果跟 fans一样.

     谢谢 wayne！ a=1.00728       蓝色曲线包围的区域=红色曲线包围的区域。
  Integrate[Boole[x^2 + x y + y^2 <= 1.0072828854243328], {x, -\[Infinity], \[Infinity]}, {y, -\\[Infinity], \[Infinity]}]
  3.65402
  Integrate[Sqrt[4 - 3 y^4]Boole[4 - 3 y^4 >= 1.0072828854243328], {y, -\[Infinity], \[Infinity]}]
  3.65402