What fraction of the triangle does each of the 7 regions occupy

markfang2050

Equilateral △ and 3 parabolas tangent to the sides at the vertices. What fraction of the △ does each of the 7 regions occupy?
一个等边三角形被在其内于顶点处与边相切的三条抛物线分割为七个区域，求各区域所占面积分数。

hujunhua

定积分当然是终极大法，但也可以仅用些阿基米德的奇技淫巧来解决这个问题
【定义】阿基米德三角形：抛物线弓形的外切三角形，即弓弦及弦两端的切线围成的三角形称为抛物线弓形的阿基米德三角形。
阿基米德抛物线定理：抛物线弓形的面积等于其阿基米德三角形面积的2/3.
抛物线自相似定理：1、任意两条抛物线恒相似，2、任意两段抛物线弧恒为仿射等价。
由抛物线的自相似定理可以简单证明阿基米德抛物线定理。

hujunhua

抛物线的方程，交点D,E,F的确定当然都可以使用代数终极大法，但也能由抛物线特殊的几何性质推导出来。

王守恩

hujunhua 发表于 2021-12-2 11:56
抛物线的方程，交点D,E,F的确定当然都可以使用代数终极大法，但也能由抛物线特殊的几何性质推导出来。

弱弱地问：记\(\frac{5}{81}\)区域\(=a,\frac{17}{81}\)区域\(=b,\frac{5}{27}\)区域\(=c,\)
\([a,b,c]=[\frac{5}{81},\frac{17}{81},\frac{5}{27}]=[\frac{1}{9},\frac{1}{9},\frac{1}{3}]=[\frac{1}{12},\frac{1}{6},\frac{1}{4}]=[\frac{1}{15},\frac{1}{5},\frac{1}{5}]=...\)
a,b,c 好像有很多组合，就是找不到七个区域都相等的组合。

王守恩

王守恩 发表于 2021-12-6 09:48
弱弱地问：记\(\frac{5}{81}\)区域\(=a,\frac{17}{81}\)区域\(=b,\frac{5}{27}\)区域\(=c,\)
\([a,b,c]= ...

弱弱地问：记\(\frac{5}{81}\)=边区域\(=a,\frac{17}{81}\)=角区域\(=b,\frac{5}{27}\)=中心区域\(=c,\)
[a,b,c]=[\(\frac{5}{81},\frac{17}{81},\frac{5}{27}\)],\(\frac{5*3}{81}+\frac{17*3}{81}+\frac{5}{27}=1,\frac{\frac{5*2}{81}+\frac{17}{81}}{\frac{5}{81}+\frac{17*2}{81}+\frac{5}{27}}=\frac{1}{2}\ \ (0)\)
[a,b,c]=[\(\frac{1}{9},\frac{1}{9},\frac{1}{3}\)],     \(\frac{1*3}{9}+\frac{1*3}{9}+\frac{1}{3}=1, \ \ \ \frac{\frac{1*2}{9}+\frac{1}{9}}{\frac{1}{9}+\frac{1*2}{9}+\frac{1}{3}}=\frac{1}{2}\ \ \ (1)\)
[a,b,c]=[\(\frac{1}{12},\frac{1}{6},\frac{1}{4}\)],   \(\frac{1*3}{12}+\frac{1*3}{6}+\frac{1}{4}=1,\ \ \frac{\frac{1*2}{12}+\frac{1}{6}}{\frac{1}{12}+\frac{1*2}{6}+\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}\ \ \ (2)\)
[a,b,c]=[\(\frac{1}{15},\frac{1}{5},\frac{1}{5}\)],   \(\frac{1*3}{15}+\frac{1*3}{5}+\frac{1}{5}=1,\ \ \frac{\frac{1*2}{15}+\frac{1}{5}}{\frac{1}{15}+\frac{1*2}{5}+\frac{1}{5}}=\frac{1}{2}\ \ \ (3)\)
弱弱地问： (0)是符合题意的解，(1),(2),(3)也可以是符合题意的解吗？
弱弱地问：[a,b,c]好像有很多组合，就是找不到七个区域都相等的组合。