过三角形内心作两条垂线产生的比例关系

anonymous

如图所示，$△ABC$中，$I$为内心，过$I$做 $ID⊥BC$于$D$，$EF⊥AI$ 分别交$AB$、$AC$于$E$、$F$，求证$\frac{AB}{AC} \frac{BD}{CD}=\frac{BE}{CF}$.
我发现可以先证$\frac{BE}{BD}=\frac{AE}{AC}$、$\frac{CF}{CD}=\frac{AE}{AB}$，不过这两个又该怎么证呢？

dlsh

hujunhua

完整的对称构图如下图所示，GK，HL，JM过内心 I 且垂直于对应分角线。
由于内心 I 是三条垂线的公共中点，所以 GHJKLM是一个中心对称六边形，与三角形的内切圆外切。
易得，中心对称六边形 GHJKLM所分的六个三角形都相似。
令AE=AF=a, BF=BD=b, CD=CE=c, 并且归一化为 a+b+c=1，易得各线段长度如图所示。