如何将矩阵的特征值与子矩阵的特征值建立联系

sadAC

遇到一个问题：S={A B\n B' D}为实对称矩阵，S的最大最小特征值为a₁,a₂,A的最大特征值为b₁，D的最大特征值为b₂，证明                           
b₁+b₂>=a₁+a₂.
想通过特征多项式的方法试不下去，用内积也不太会处理，这个题目该如何处理呢？

mathe

矩阵减$a_2 I$退化为$a_2=0$的情况，所以不妨设$a_2=0$，这时$S,A,D$都是半正定
设$a_1$对应特征向量为\(\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}\),于是对于任意变量x有
\(\begin{pmatrix}x u'&v'\end{pmatrix}S\begin{pmatrix}x u\\v\end{pmatrix}\ge 0\)
即对于任意x有\(x^2 u'Au +2x u'Bv + v'Dv \ge 0\)，所以根据根的判别式有\((u'Bv)^2 \le (u'Au)(v'Dv)\)
于是\(a_1 (u'u+v'v) = u'Au+2u'Bv+v'Dv \le \left(\sqrt{u'Au}+\sqrt{v'Dv}\right)^2 \le \left(\sqrt{b_1 u'u}+\sqrt{b_2 v'v}\right)^2 \le (b_1+b_2)(u'u+v'v)\) （最后一步柯西不等式）, 即\(a_1 \le b_1+b_2\)，得证

sadAC

mathe 发表于 2021-12-13 18:02
矩阵减$a_2 I$退化为$a_2=0$的情况，所以不妨设$a_2=0$，这时$S,A,D$都是半正定
设$a_1$对应特征向量为\(\ ...

谢谢了，没想到用判别式