关于泰勒定理比皮亚诺定理条件宽松的原因，这样理解是否正确？

jiewenji · 发表于 2021-12-17 20:23:09

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本帖最后由 jiewenji 于 2021-12-17 20:26 编辑

请看下图分别是泰勒定理和皮亚诺定理，泰勒定理要求在一个区间存在n阶可导，而皮亚诺定理只要求在存在n阶导数。造成这种差异的原因是不是因为泰勒定理中的拉格朗日余项当中存在，而这个c是在ab之间“游动的”，随着泰勒多项式的项数不断增加，c的游动范围不断缩小，但是你还是不知道c究竟在ab区间的哪一点，所以只能要求f在ab区间存在n阶导数。

但是皮亚诺定理中用皮亚诺余项代替了拉格朗日余项，消失了，因此就不需要在区间存在n阶导数。只需要在存在n阶导数就可以让定理成立了。

不知道是不是这样？

泰勒定理

皮亚诺定理(图片空间不够了。请扫描二维码看图)

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