皮亚诺定理“条件宽松”的代价理解是否正确

jiewenji

皮亚诺定理“条件宽松”的代价

因为泰勒定理限定了在区间ab存在n阶导数，所以只要知道f(a)和他的n阶导数，且f(a)n阶导数小于等于某个常数M，我就可以用泰勒多项式去逼近ab区间内的f(x)任意函数值。比如\(e^{x}\)整个定义域都满足上面带下划线部分的条件。因此我只要知道\(e^{x}\)n阶导数的表达式，就可以以泰勒定理作为理论基础用泰勒多项式去逼近任意x对应的\(e^{x}\)的函数值。泰勒多项式的阶数越多，逼近误差与小（n越大，逼近误差越小）

但是我却不能以皮亚诺定理为理论基础，去做上面的逼近(逼近可以做，但是不能用皮亚诺余定理做基础。因为皮定理只能在x趋于\(x_{0 }\)的时候使用)。皮亚诺定理的逼近是靠x逼近\(x_{0 }\)来缩减误差的。

以上理解正确么？