帐号 自动登录 找回密码 密码 欢迎注册
 搜索

[讨论] 关于网上【最贱的数学题】帖子的提问

马上注册，结交更多好友，享用更多功能，让你轻松玩转社区。

x

$$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}=4$$ 的正整数解。解的最小值是 80 位的正整数。网上关于这个问题的介绍见：https://blog.csdn.net/BULpreZHt1ImlN4N/article/details/81213105

$$x = (-28 (a + b + 2 c))/(6 a + 6 b - c), \quad y = (364 (a - b))/( 6 a + 6 b - c)$$

$$=(4 (260 x^3 + 455 x^2 - x (y^2 - 20384) - 35 y^2))/((x - 56) (13 x - y) (13 x + y))$$，

$$a = (56 - x + y)/(56 - 14 x); b = (56 - x - y)/(56 - 14 x); c = (-28 - 6 x)/(28 - 7 x);$$

$$a=1357/840, \quad b=-366/245, \quad c=1033/1176$$，它们的分母的最小公倍数是 $$5880$$，乘上它，算出第 1 轮的迭代结果是：

$$a=9499, \quad b=-8784, \quad c=5165$$。

$$a = 154476802108746166441951315019919837485664325669565431700026634898\ 253202035277999;$$
$$b = 368751317941299998271978115652254748254929799689719709962831374716\ 37224634055579;$$
$$c = 437361267792869725786125260237139015281653755816161361862143799337\ 8423467772036;$$

楼主| 发表于 2021-12-30 12:27:57 | 显示全部楼层
 我的问题是，第 2 轮迭代怎么做法？(每迭代一次  的绝对值都会增大)，网上那篇文章没有把这一点讲清楚。

 $P_1 (-100,260)$和$P_n$连线交曲线于第三点$-P_{n+1}$,这个点关于横坐标的对称点为$P_{n+1}$ 前三个结果: 9 154476802108746166441951315019919837485664325669565431700026634898253202035277999,36875131794129999827197811565225474825492979968971970996283137471637224634055579,4373612677928697257861252602371390152816537558161613618621437993378423467772036 17 1440354387400113353318275132419054375891245413681864837390427511212805748408072838847944629793120889446685643108530381465382074956451566809039119353657601240377236701038904980199109550001860607309184336719930229935342817546146083848277758428344831968440238907935894338978800768226766379,9391500403903773267688655787670246245493629218171544262747638036518222364768797479813561509116827252710188014736501391120827705790025300419608858224262849244058466770043809014864245428958116544162335497194996709759345801074510016208346248254582570123358164225821298549533282498545808644,1054210182683112310528012408530531909717229064191793536540847847817849001214642792626066010344383473173101972948978951703027097154519698536728956323881063669558925110120619283730835864056709609662983759100063333396875182094245046315497525532634764115913236450532733839386139526489824351 43 15453593309218940846207255865132613310776450115166437161515541658413531828588400557772731420460987706137029491033863210399196130330252915932012779241010815778785617708264564651145867876354705406946306475540773730502496058183399570826119375802616171105147320839349868276291026219814007049506148461451918729250823169813534824306463095992345931904104233809391771272321121758929488549431212466959033216285349200436512471245987390967598499606007879122810276916229858800789436888707844488513846048097093129617120399903120411979821029685809349594462294547510741368010379579750176314970250699227364950578663581497239660843832768290467755219851688586180014257437413015374031218327004559570623906428315174821174817432179940485392234212575235848833874133378123124340523717795011331908535629779429924179483728214494662931883633274923491027906607029813527218055338276841070812234948365216914682845244464809754190578935802060897063627220846539383345067008605419721714348481477780882239249117691695851959002887566984490411774473831811761705795095939539443091458534999791722281380264634316172204309348184521227518524588448812687570643547540047621969693813066210281372496482924358381907617081200370347600166303777060675118145295062430152376767671509939096301299823072997973205853712232488334610148222602647419067205800571100144228924764012888478757110388735298477249882209822146284487796157891048751431528026390794728224109606752426574920880273700061125573881264680865796667046184720767513409523201173802115553319085433982458772137460109597504774375920669837897880121704523872178439818568348176740267055509634742517225702578785925465191101510356982178184057955288652356039341768098314169871196352558095644129134696113697500722129535500400502127531801316262914876243453673660723752938404965989057078733388153481825535043691867763887742109840002244,225154016517112977781036948256008938300203178330423577363453821036394761107680057568745628209195248523620195782466426407985215307025921866600858990606927336174889537531018446580713112825302066623162355086869328417402211408953756565342027652872537253617826530330784837338571463734871996499108516583290648763496513489183745733576708877087047371189412505717014331826142406003884899681843364642819684522813601476303079790279856327656223776004815820327753159755901868587896719861213720266764460310032696256605354111160107295291128043538323200422916078193961183140616030812370630564256817377233433528789971841979658793737967114669186555377771237485226841269607323166922316761422199345865999104815884491622547014936234709052023067922775032191916270243862878508060657067021931486974723180046708070927036318162808729432879113786424376189970820861538373191411543578985216279783091118151432408248753288507964544978529017501384067917969689186500193235465170699554467854161734696375451401526147038132103497722712434237765240417469026003900141380094963887277536680663339473495404280832277956459721398409188832206502884147198106952208672070217739002221072079359396085559259663544288599091559005944227248534623542597623064520350379930304929965204170913653510169778542349039374910308027821337246852975840961727328228254763203060674895250350545695000298534504920902849054401337272333498054840472621350454001742892929660367675291497608434201219153565223416767494379418507493309105107702570247029601616824210304509090382274068128665595252704806444774305191463838801795214144808202626528629558344536206661056959565750095641772947809946832113656333105504888842201552297169696803219554009606770704895946366921580738948138601485916793613132084870296310272512606742366208816635957211558863396821219822591454440442729419986877429924523309238064797884908179,44461335629672512492703765883175586604271617966959372579405246316312635749738199775109810178104708707457198051230615821377304871559074000742368039859421360451446219358428556912551613268447055577075546308705355207675432824857482711021718385130587463540493155013085535756860845750238851692639161021024517886524036212139762029236463245295105027391367451888348670870408741211719607504937094603439646815018182825901652580649742456614698847261022885595461685161887958381609802685598412986417636090987167575772949267424224684536724902932223944768712498398205815659899970956077837279038128530901008278668933556282812304203744819571765335023040626696922076594110969151730408695242584377910242288683981295738931371487272741006895663592260930378015591408275619819882393176736343144067616932519826148309713147158706988600051832028664922598148770934499584030154416061448540824660162738136970731773312764840190126210608974771414980007148816299467771768997419448765761330711875516987247407438356175714309118555904515740423840289623467624875815358180134367295671020825468513244755783145700103316905246329313325502943931733599223271651712239125845402984818877286590277802960982778863144323433358637469683688834360044267722771070351136547068178839171882142976989614417695114955102446303728641753175503913077759878507833430128395224826879934144069171265044502339887369200465840860583880007153663136783858497137105830822652366608673840534971495675993245882416626862118582558385659522811755932651109573554484186740090013071423293846683669742213991618807138000493782173547896957291088164647943782010145181582548768571970911242213342278622698955569338623947887256312073204761339436465560502438654375446399926542663356453629893811734755642591222705407745522813593398800289828045627917654884172247174896298662497901305098949979750083457327969810933896151

点评

(-731025/11881, 527529870/1295029) 这个点是怎么得到的？  发表于 2021-12-30 20:59

评分

TSC999 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 赞一个!

 TSC999 发表于 2021-12-30 12:27 我的问题是，第 2 轮迭代怎么做法？(每迭代一次  的绝对值都会增大)，网上那篇文章没有把这一点讲清楚。 我到现在都没看到过有人证明过这个解的最小值是最小值，难道必须用椭圆曲线才能解吗

 我也有这个疑问，能证明这是最小的解？ 做加密，看到这椭圆曲线，好熟悉的感觉。。。

点评

楼主| 发表于 2021-12-30 21:40:19 | 显示全部楼层
 本帖最后由 TSC999 于 2021-12-30 22:20 编辑 根据前面 mathe 大师的帖子，迭代的方法见下图。 首先求出椭圆曲线上的一个整点 $$P (-100, 260)$$，这算是第 1 次迭代。 $$P$$ 点关于实轴的镜像点为  $$\overline{P}$$。 从 $$P$$ 点作椭圆曲线的切线交椭圆曲线右上支于 $$P1$$ 点。 $$P1$$ 点关于实轴的镜像点为 $$\overline{P1}$$，这是第 2 次迭代。 连接  $$\overline{P}$$ 与  $$P1$$ 点交椭圆曲线于  $$P2$$ 点， $$P2$$ 点的镜像是 $$\overline{P2}$$，这是第 3 次迭代。 连接  $$\overline{P}$$ 与  $$P2$$ 点交椭圆曲线于  $$P3$$ 点， $$P3$$ 点的镜像是 $$\overline{P3}$$，这是第 4 次迭代。 补充内容 (2021-12-31 11:37): 上面最后一句话错了，应该改成 “连接 P 与 P2 交椭圆曲线于 P3 点 ”

楼主| 发表于 2021-12-31 11:43:20 | 显示全部楼层
 本帖最后由 TSC999 于 2021-12-31 14:58 编辑 九 次 迭 代 方 法： 将 $$P8$$ 点的镜像坐标 $$x =-66202368404229585264842409883878874707453676645038225/\ 13514400292716288512070907945002943352692578000406921;$$ $$y =-58800835157308083307376751727347181330085672850296730351871748713307\ 988700611210/\ 1571068668597978434556364707291896268838086945430031322196754390420280\ 407346469$$ 代入 $$a = (56 - x + y)/(56 - 14 x); \quad b = (56 - x - y)/(56 - 14 x); \quad c = (-28 - 6 x)/(28 - 7 x)$$ 中，得到 $$a = 72627067629030455550043880234643101653454184810448427/385489402115598358968822193146517732601759618776822382;$$ $$b = 652194680638776317370751188686261401138670498641722947/826345176768069653846031682295795260307016241032351542;$$ $$c = 18811002229321433251069036843190834369329875858835562/841819787025663175191882291647234536827567920526661363。$$ 它们分母的最小公倍数为 $$195725546580804863527010379187516702463973843196699016314931210363268850137105614$$。 把 $$a, \enspace b, \enspace c$$ 分别乘以最小公倍数，就得到最终的结果： $$a = 154476802108746166441951315019919837485664325669565431700026634898253202035277999;$$ $$b = 36875131794129999827197811565225474825492979968971970996283137471637224634055579;$$ $$c = 4373612677928697257861252602371390152816537558161613618621437993378423467772036。$$

 x = (-28 (a + b + 2 c))/(6 a + 6 b - c), \quad  y = (364 (a - b))/( 6 a + 6 b - c)  这个二元变换是怎么来的？天上掉来下的吗？为什么这样变换，很重要

点评

楼主| 发表于 2021-12-31 15:12:51 | 显示全部楼层
 通过这个椭圆曲线上的任何两个有理数点的直线，如果与该曲线交于第三点，那第三点的坐标也仍然是个有理数。是不是任何的椭圆曲线都有这样的性质？那个英国数学家怀尔斯，据说他在证明费马大定理时，就用到了椭圆曲线的这一性质。 什么样的曲线叫做椭圆曲线？

楼主| 发表于 2021-12-31 17:38:06 | 显示全部楼层
 本帖最后由 TSC999 于 2021-12-31 17:40 编辑 用 mathematica 写一个计算原方程所有正整数解的程序如下。从小到大的前三组解与 mathe 大师在 3# 的数据完全相同。 Clear["Global`*"] ; px = 8836/25; py = 950716/125 ; Do[w = Solve[{(y + (-1)^n 260)/(x + 100) == (y - py)/(x - px),     y^2 == x^3 + 109 x^2 + 224 x}, {x, y} ]; m = Part[w, 1]; px = Part[Part[m, 1], 2]; py = Part[Part[m, 2], 2]; a = (56 - px + py)/(56 - 14 px);  b = (56 - px - py)/(56 - 14 px);    c = (-28 - 6 px)/(28 - 7 px); k = LCM[Denominator[a], Denominator[b], Denominator[c]]; a = k a; b = k b; c = k c; If[ a > 0 &&  b > 0 &&  c > 0, Print["n = ", n]; Print["a = ",  a];    Print["b = ",  b]; Print["c = ",  c];]   Clear[x, y] ; , {n, 2, 42}]复制代码 程序运行结果： n = 8 a = 154476802108746166441951315019919837485664325669565431700026634898253202035277999 b = 36875131794129999827197811565225474825492979968971970996283137471637224634055579 c = 4373612677928697257861252602371390152816537558161613618621437993378423467772036 n = 16 a = 1440354387400113353318275132419054375891245413681864837390427511212805748408072838847944629793120889446685643108530381465382074956451566809039119353657601240377236701038904980199109550001860607309184336719930229935342817546146083848277758428344831968440238907935894338978800768226766379 b = 9391500403903773267688655787670246245493629218171544262747638036518222364768797479813561509116827252710188014736501391120827705790025300419608858224262849244058466770043809014864245428958116544162335497194996709759345801074510016208346248254582570123358164225821298549533282498545808644 c = 1054210182683112310528012408530531909717229064191793536540847847817849001214642792626066010344383473173101972948978951703027097154519698536728956323881063669558925110120619283730835864056709609662983759100063333396875182094245046315497525532634764115913236450532733839386139526489824351 n = 42 a = 15453593309218940846207255865132613310776450115166437161515541658413531828588400557772731420460987706137029491033863210399196130330252915932012779241010815778785617708264564651145867876354705406946306475540773730502496058183399570826119375802616171105147320839349868276291026219814007049506148461451918729250823169813534824306463095992345931904104233809391771272321121758929488549431212466959033216285349200436512471245987390967598499606007879122810276916229858800789436888707844488513846048097093129617120399903120411979821029685809349594462294547510741368010379579750176314970250699227364950578663581497239660843832768290467755219851688586180014257437413015374031218327004559570623906428315174821174817432179940485392234212575235848833874133378123124340523717795011331908535629779429924179483728214494662931883633274923491027906607029813527218055338276841070812234948365216914682845244464809754190578935802060897063627220846539383345067008605419721714348481477780882239249117691695851959002887566984490411774473831811761705795095939539443091458534999791722281380264634316172204309348184521227518524588448812687570643547540047621969693813066210281372496482924358381907617081200370347600166303777060675118145295062430152376767671509939096301299823072997973205853712232488334610148222602647419067205800571100144228924764012888478757110388735298477249882209822146284487796157891048751431528026390794728224109606752426574920880273700061125573881264680865796667046184720767513409523201173802115553319085433982458772137460109597504774375920669837897880121704523872178439818568348176740267055509634742517225702578785925465191101510356982178184057955288652356039341768098314169871196352558095644129134696113697500722129535500400502127531801316262914876243453673660723752938404965989057078733388153481825535043691867763887742109840002244 b = 225154016517112977781036948256008938300203178330423577363453821036394761107680057568745628209195248523620195782466426407985215307025921866600858990606927336174889537531018446580713112825302066623162355086869328417402211408953756565342027652872537253617826530330784837338571463734871996499108516583290648763496513489183745733576708877087047371189412505717014331826142406003884899681843364642819684522813601476303079790279856327656223776004815820327753159755901868587896719861213720266764460310032696256605354111160107295291128043538323200422916078193961183140616030812370630564256817377233433528789971841979658793737967114669186555377771237485226841269607323166922316761422199345865999104815884491622547014936234709052023067922775032191916270243862878508060657067021931486974723180046708070927036318162808729432879113786424376189970820861538373191411543578985216279783091118151432408248753288507964544978529017501384067917969689186500193235465170699554467854161734696375451401526147038132103497722712434237765240417469026003900141380094963887277536680663339473495404280832277956459721398409188832206502884147198106952208672070217739002221072079359396085559259663544288599091559005944227248534623542597623064520350379930304929965204170913653510169778542349039374910308027821337246852975840961727328228254763203060674895250350545695000298534504920902849054401337272333498054840472621350454001742892929660367675291497608434201219153565223416767494379418507493309105107702570247029601616824210304509090382274068128665595252704806444774305191463838801795214144808202626528629558344536206661056959565750095641772947809946832113656333105504888842201552297169696803219554009606770704895946366921580738948138601485916793613132084870296310272512606742366208816635957211558863396821219822591454440442729419986877429924523309238064797884908179 c = 44461335629672512492703765883175586604271617966959372579405246316312635749738199775109810178104708707457198051230615821377304871559074000742368039859421360451446219358428556912551613268447055577075546308705355207675432824857482711021718385130587463540493155013085535756860845750238851692639161021024517886524036212139762029236463245295105027391367451888348670870408741211719607504937094603439646815018182825901652580649742456614698847261022885595461685161887958381609802685598412986417636090987167575772949267424224684536724902932223944768712498398205815659899970956077837279038128530901008278668933556282812304203744819571765335023040626696922076594110969151730408695242584377910242288683981295738931371487272741006895663592260930378015591408275619819882393176736343144067616932519826148309713147158706988600051832028664922598148770934499584030154416061448540824660162738136970731773312764840190126210608974771414980007148816299467771768997419448765761330711875516987247407438356175714309118555904515740423840289623467624875815358180134367295671020825468513244755783145700103316905246329313325502943931733599223271651712239125845402984818877286590277802960982778863144323433358637469683688834360044267722771070351136547068178839171882142976989614417695114955102446303728641753175503913077759878507833430128395224826879934144069171265044502339887369200465840860583880007153663136783858497137105830822652366608673840534971495675993245882416626862118582558385659522811755932651109573554484186740090013071423293846683669742213991618807138000493782173547896957291088164647943782010145181582548768571970911242213342278622698955569338623947887256312073204761339436465560502438654375446399926542663356453629893811734755642591222705407745522813593398800289828045627917654884172247174896298662497901305098949979750083457327969810933896151复制代码

 您需要登录后才可以回帖 登录 | 欢迎注册 本版积分规则 回帖后跳转到最后一页

GMT+8, 2022-8-10 04:28 , Processed in 0.096343 second(s), 21 queries .