有理数集上满足交换律和结合律的运算都有哪些？

.·.·.

问题背景：
最开始我是看有人说 Robinson算数 满足结合律但证不出来，我感觉有BUG，因为算数系统证不出来结合律的原因很可能是结合律直接不成立
推到某一步构造的时候需要构造一个新运算$f$，满足$f(a,0)=a$且$f(f(a,b),c)\ne f(a,f(b,c))$，我不假思索地写了一个$f(a,b)=ab+a+b$，并立flag表示这玩意不可能满足结合律
……
改掉证明之后，发现剩下的这个“到底什么算符有交换律和结合律”很好玩，但不知道有什么好结论，因此发文，顺便祝坛友元旦快乐：）

设$a,b,c$是有理数，$C,T$是有理数常数，则
$$f_{C,T}(a,b)=Cab + (1-CT)(a+b) + CT^2 - T$$
满足交换律$$f_{C,T}(a,b)=f_{C,T}(b,a)$$
和结合律$$f_{C,T}(f_{C,T}(a,b),c)=f_{C,T}(a,f_{C,T}(b,c))$$

几个栗子：

$$f_{0,0}(a,b)=a+b$$
$$f_{1,1}(a,b)=ab$$

$$f_{0,-C}(a,b)=a+b+C$$
$$f_{C,1/C}(a,b)=Cab$$

$$f_{C,0}(a,b)=Cab+a+b$$

除了这个函数之外，还有其他函数可以同时满足交换律和结合律吗？

mathe

如果没有任何限制，那么结果必然无穷多，比如我们仅交换数字1和0的地位是不是就可以认为是定义了一种合法的解呢？

所以我们可以做一个限定，比如限定f(a,b)是关于a和b的多项式，由于f(a,b)=f(b,a),所以它关于a和b的次数必须相等，假设这个次数为k, 于是f(f(a,b),c)必然是a的$k^2$次多项式，而f(a,f(b,c))是a的$k$次多项式，两者相等，比如要求k=1或k=0.
由此，再根据f关于a,b对称，我们直接可以假设$f(a,b)=u ab+v(a+b)+w$,
然后利用$f(x,f(y,z))=f(f(x,y),z)$可以得出充分必要条件为$u w=v^2-v$，这个条件和楼主的形式应该是等价的

mathe

如果不限定多项式，我们可以任意选择实数域上一个单射h, 并且设$g(x)=h^{-1}(x)$,
于是如果f(a,b)满足条件，那么显然$g(f(h(a),h(b)))$也满足条件。
比如我们选择$g(x)=h(x)=\frac{1-x}{1+x}$, 选择$f(a,b)=2ab$, 利用这个方案可以得出一个新的变换
$F(a,b)=\frac{-ab+ 3(a+b) - 1}{3ab-a-b+3}$

.·.·.

mathe 发表于 2022-1-5 10:23
如果不限定多项式，我们可以任意选择实数域上一个单射h, 并且设$g(x)=h^{-1}(x)$,
于是如果f(a,b)满足条件 ...

感谢解答
感觉手头的玩具多了很多。

可以试试套着映射看看能不能凑两个满足交换律和结合律的运算，看看其中一个能不能对另一个满足分配率了

（感觉是个不错的玩具，类似玩具大概存在，就是不知道这样的玩具是否好玩）