三角形的达布点对

TSC999

△ABC内一点 P 在边BC, CA, AB上的射影分别为D, E, F，若连线 AD、BE、CF 恰好交于一点 Q，则(P,Q)称为△ABC的一个达布点对。

显然，(垂心,垂心)是一个重合的达布点对，(外心，重心)是一个达布点对。

对于等腰△，底边的高线上的任意点显然都是一个达布点对的P点，并且对应的Q点也在底边的高线上。

问：对于一般△，还有更多的达布点对吗？

mathe

显然无穷个

ejsoon

如果是無窮多個，那這可以說是一個定理。有這個定理嗎？

TSC999

设 t、u、v 是 0 到 1 之间的正数，它们是决定 BC、CA、AB 边上 D、E、F 位置的定比分点系数。

如果先在 BC 边上任取一点 D，则可知道 t  的数值。然后按下面第二张图的计算公式可算出 u、v 的值，从而也就确定了 P 点的位置。

由于 D 点位置可任意取，所以符合要求的 P 点有无穷多个。对于一个确定的三角形，P 点及 Q 点的轨迹是确定的。



mathematica 给出的方程的解有两组，其实它的解答是绌劣的，经过人工分析，可以把两组解合并成一组。见下图。下图中的公式也许

还能进一步简化。公式中的 a、b、c 是三角形各边的长度，即 BC=a，CA=b，AB=c。

TSC999

对于主贴中的那个三角形，实测  BC= a = 1.55903;  CA = b = 1.09884;   AB = c = 1.99089;  BD/DC = t =0.715233,  算出  CE/EA = u = 0.365101,  AF/FB = v = 0.40911  均与实测数据符合。

按上面的 a、b、c  数据如何在三角形中画出 P 点和 Q 点的轨迹？

另外，关于 u (t) 和 v (t) 的公式能否再简化？ 为验证简化是否正确，下面用程序代码方式给出了公式，以方便复制。

1. a = 1.55903; b = 1.09884; c = 1.99089; t = 0.71523;
   
2. u = ((1 -  t)  (-Sqrt[b^4 + 2 c^2 (8 t^2 - 8 t + 1) b^2 + c^4 + a^4 (1 - 2 t)^4 -  2 a^2 (b^2 + c^2) (1 - 2 t)^2] + (-b^2 + a^2 (1 - 2 t)^2 +
   
3.       c^2 (4 t - 1))))/((2 t - 1) (Sqrt[ b^4 + 2 c^2 (8 t^2 - 8 t + 1) b^2 + c^4 + a^4 (1 - 2 t)^4 - 2 a^2 (b^2 + c^2) (1 - 2 t)^2]  + (b^2 + c^2 - a^2 (1 - 2 t)^2) ))
   
4. v = (b^2 - 3 c^2 - a^2 (1 - 2 t)^2 + 4 c^2 t + Sqrt[b^4 + 2 c^2 (8 t^2 - 8 t + 1) b^2 + c^4 + a^4 (1 - 2 t)^4 - 2 a^2 (b^2 + c^2) (1 - 2 t)^2])/(4 c^2 (2 t - 1))
   

复制代码

TSC999

下面这个截图是【初等数学讨论】网站站长 kuing 发的 P 点的轨迹图。原图是动态图，文件超过 500k 发不上来，下面只是一个截图。原图见 http://kuing.orzweb.net/viewthre ... &extra=page%3D1

下面这个轨迹图是当三角形是边长为 3、4、5 的直角三角形时 P 点的轨迹。这是一条三次曲线，据说叫做 “达布三次曲线”。有定理：当 AD、BE、CF  共点时 P 点一定在达布曲线上。



据说三维的达布定理的曲线方程是 $ (cosA-cosB cosC)x(y^2-z^2)+(cosB-cosC cosA)y(z^2-x^2)+(cosC-cosA cosB)z(x^2-y^2)=0 $

式中 A、B、C 是三角形的三个角。

二维的达布曲线是什么样的？

TSC999

用 mathematica 软件机器证明下面这个并不复杂的平面几何问题。不要用纯几何方法证明。

下面图 1 中，已知 (P,Q)是ΔABC 的一个达布点对，BM⊥CP，BM 交 CA 或其延长线于 M，  CN⊥BP，CN 交 BA 或其延长线于 N，MN 的延长线交 BC 或其延长线于 G。

试证明 ：PQ ⊥AG



我感觉这个问题的难处在于达布点对不易作图，例如在图 1 中，令三角形 ABC 的外接圆是单位圆且 BC 边与实轴平行，

当 D 点的位置确定下来后，E、F 的位置是需要用复杂公式才能计算得到的，见图 2。



在上面图 2 中，令边长 \(BC=a\)，\(CA=b\)，\(AB=c\)，当 \( x \) 给定以后，就确定了 D 点的位置。\( y、z \) 的值可按下面两式计算：

\( y = (-a^2 x^2 - b^2 + c^2 -  \sqrt{(a^2 x^2 + b^2 - c^2)^2 - 4 b^2 x (a^2 x - c^2 x)})/(2 b^2 x)\)  ------------------------------①
\( z = (-a^2 x^2 + b^2 - c^2 + \sqrt{(a^2 x^2 + b^2 - c^2)^2 - 4 b^2 x (a^2 x - c^2 x)})/(2 c^2 x)\)   ------------------------------②

现在的问题是，如果在程序中引用了上面的公式，计算就变得十分复杂，无法证明成功。

如果只是进行数字验证，那是没有任何困难的。为抛砖引玉，下面给出一个数字验证的程序供参考。

能不能避开上面两个复杂公式而进行证明？

TSC999

下面的程序中，\(λ\)，\(μ\), \(η\) 是 \(BC、CA、AB\) 各边上 \(D、E、F\) 点的定比分割系数，即 \(λ=BD/BC\)，\(μ=CE/CA\), \(η=AF/AB\)。这三个系数与主帖中的 \(x, y, z\) 有如下关系：

\(x=1-2λ\)，\(y=1-2μ\)，\(z=1-2η\)。\(λ\)，\(μ\), \(η\) 的取值范围都是 0 到 +1， \(x, y, z\) 的取值范围都是 -1 到 +1。

1. Clear["Global`*"]; \
   
2. (*三角形的外接圆为单位圆进行构图以证明PQ\[UpTee]AG，以下是数字验证，如果去掉数字算出的公式极复杂，证明不成功！*)
   
3. (*令\[CapitalDelta]ABC的外接圆为单位圆O，BC边平行于实轴，因此BC的复斜率为 \
   
4. 1。已知AB、AC的复斜率分别为-ab和-ac *)
   
5. Clear["Global`*"];
   
6. \[Lambda] = 0.6; \[Lambda] = 0.85; \[Lambda] = 0.9; \[Lambda] = \
   
7. 0.45; \[Lambda] = 0.3; \[Lambda] = 0.05; \[Lambda] = 0.27; \[Lambda] \
   
8. = 0.73; (*\[Lambda]是除0.5外的任给数据*)
   
9. (*对于以上任一个\[Lambda]数据，程序运行结果都能验证PQ垂直于AG的结论*)
   
10. a = 0.8 + Sqrt[1 - 0.8^2] I;  b = -0.55 - Sqrt[1 - 0.55^2] I;  c =
    
11. 0.55 - Sqrt[1 - 0.55^2] I;(*任给测试数据*)
    
12. 
    
13. \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) = 0.8 - Sqrt[1 - 0.8^2] I;  
    
14. \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) = -0.55 + Sqrt[1 - 0.55^2] I;  
    
15. \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) = 0.55 + Sqrt[1 - 0.55^2] I;
    
16. u = -Sqrt[-a b]; v = Sqrt[-a c];(*不用数字计算时 u,v 是两个自由变量*)
    
17. o = 0;
    
18. \!\(\*OverscriptBox[\(o\), \(_\)]\) = 0; a = I u v;  b = (
    
19. I u)/v; c = (I v)/u;  
    
20. \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) = 1/a;  
    
21. \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) = 1/b;  
    
22. \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) = 1/c;
    
23. Print["a = ", a, "， b = ", b, "，  c = ", c];
    
24. kab = -a b; kac = -a c; (*AB和AC的复斜率，因为A、B、C都在单位圆上，故有此公式*)
    
25. BC = Simplify[(c - b)/1]; CA = Simplify[(a - c)/Sqrt[kac] ]; AB =
    
26. Simplify[(b - a)/-Sqrt[kab]]; (*线段BC、CA、AB的长度*)
    
27. Print["BC = ", Re[BC], "， CA = ", Re[CA], "，  AB = ",
    
28.   Re[AB]];(*由于计算有误差，导致算出的边长有很小的虚部，显示时宜将虚部忽略*)
    
29. x = 1 - 2 \[Lambda];
    
30. d = Simplify[b + (c - b) (1 - x)/2];
    
31. \!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\) = Simplify[
    
32. \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) + (
    
33. \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) -
    
34. \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\)) (1 - x)/
    
35.     2];(*BC上D点的\[Lambda]=(1-x)/2*)(*直线BC上有一点D，BD/BC=\[Lambda]，则D点坐标d=\
    
36. b+(c-b)\[Lambda]; Overscript[d, _]=Overscript[b, _]+(Overscript[c, \
    
37. _]-Overscript[b, _])\[Lambda]。上式中的 x 是一个自由变量;*)
    
38.    y = Simplify[(-BC^2 x^2 - CA^2 + AB^2 -
    
39.    Sqrt[(BC^2 x^2 + CA^2 - AB^2)^2 - 4 CA^2 x (BC^2 x - AB^2 x)])/(
    
40.   2 CA^2 x)]; (*\[Lambda]不能取0.5，否则x=0导致分母为零！*)
    
41. (*陆教授公式,CA上E的定比分点系数为(1-y)/2*)
    
42.   z = Simplify[(-BC^2 x^2 + CA^2 - AB^2 +
    
43.    Sqrt[(BC^2 x^2 + CA^2 - AB^2)^2 - 4 CA^2 x (BC^2 x - AB^2 x)])/(
    
44.   2 AB^2 x)];(*AB上F的定比分点系数为(1-z)/2*)
    
45. e = Simplify[c + (a - c) (1 - y)/2];
    
46. \!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\) = Simplify[
    
47. \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) + (
    
48. \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) -
    
49. \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\)) (1 - y)/2];
    
50. f = Simplify[a + (b - a) (1 - z)/2];
    
51. \!\(\*OverscriptBox[\(f\), \(_\)]\) = Simplify[
    
52. \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) + (
    
53. \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) -
    
54. \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\)) (1 - z)/2];
    
55. Print["d = ", d, "， e = ", e, "， f = ", f];
    
56. Jd[k1_, a1_, k2_, a2_] := -((k2 (a1 - k1
    
57. \!\(\*OverscriptBox[\(a1\), \(_\)]\)) - k1 (a2 - k2
    
58. \!\(\*OverscriptBox[\(a2\), \(_\)]\)))/(
    
59.   k1 - k2));(*复斜率等于k1,过点A1与复斜率等于k2,过点A2的直线交点*)
    
60. 
    
61. \!\(\*OverscriptBox[\(Jd\), \(_\)]\)[k1_, a1_, k2_, a2_] := -((a1 - k1
    
62. \!\(\*OverscriptBox[\(a1\), \(_\)]\) - (a2 - k2
    
63. \!\(\*OverscriptBox[\(a2\), \(_\)]\)))/(k1 - k2));
    
64. p = Simplify[Jd[-1, d, a b, f]];
    
65. \!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\) = Simplify[
    
66. \!\(\*OverscriptBox[\(Jd\), \(_\)]\)[-1, d, a b, f]];
    
67. q = Simplify[Jd[(c - f)/(
    
68. \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) -
    
69. \!\(\*OverscriptBox[\(f\), \(_\)]\)), c, (b - e)/(
    
70. \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) -
    
71. \!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\)), b]];
    
72. \!\(\*OverscriptBox[\(q\), \(_\)]\) = Simplify[
    
73. \!\(\*OverscriptBox[\(Jd\), \(_\)]\)[(c - f)/(
    
74. \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) -
    
75. \!\(\*OverscriptBox[\(f\), \(_\)]\)), c, (b - e)/(
    
76. \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) -
    
77. \!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\)), b]];
    
78. Print["p = ", p, "，  q = ", q];
    
79. m = Simplify[Jd[kac, c, (p - c)/(
    
80. \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) -
    
81. \!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\)), b]];
    
82. \!\(\*OverscriptBox[\(m\), \(_\)]\) = Simplify[
    
83. \!\(\*OverscriptBox[\(Jd\), \(_\)]\)[kac, c, (p - c)/(
    
84. \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) -
    
85. \!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\)), b]];
    
86. n = Simplify[Jd[kab, b, (p - b)/(
    
87. \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) -
    
88. \!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\)), c]];
    
89. \!\(\*OverscriptBox[\(n\), \(_\)]\) = Simplify[
    
90. \!\(\*OverscriptBox[\(Jd\), \(_\)]\)[kab, b, (p - b)/(
    
91. \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) -
    
92. \!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\)), c]];
    
93. g = Simplify[Jd[1, b, (m - n)/(
    
94. \!\(\*OverscriptBox[\(m\), \(_\)]\) -
    
95. \!\(\*OverscriptBox[\(n\), \(_\)]\)), m]];
    
96. \!\(\*OverscriptBox[\(g\), \(_\)]\) = Simplify[
    
97. \!\(\*OverscriptBox[\(Jd\), \(_\)]\)[1, b, (m - n)/(
    
98. \!\(\*OverscriptBox[\(m\), \(_\)]\) -
    
99. \!\(\*OverscriptBox[\(n\), \(_\)]\)), m]];
    
100. Print["m = ", m, "，  n = ", n, "，  g = ", g];
     
101. kag = Simplify[(a - g)/(
     
102. \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) -
     
103. \!\(\*OverscriptBox[\(g\), \(_\)]\))]; kpq = Simplify[(p - q)/(
     
104. \!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\) -
     
105. \!\(\*OverscriptBox[\(q\), \(_\)]\))];
     
106. Print["kag = ", kag, ",   kpq = ", kpq];
     
107. If[-0.9999999999999 > Re[kpq/kag] > -1.0000000000001 &&  
     
108.   Im[Abs[kpq/kag]] < 10^-15, Print["由于PQ与AG的复斜率之比为 -1，所以它们垂直"] ]

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运行结果是：

1. a = 0.8 +0.6 I， b = -0.55-0.835165 I，  c = 0.55 -0.835165 I
   
2. BC = 1.1， CA = 1.45678，  AB = 1.97033
   
3. d = 0.253 -0.835165 I， e = 0.601153 -0.54151 I， f = 0.00378844 -0.246441 I
   
4. p = 0.253 -0.480864 I，  q = 0.339482 -0.608262 I
   
5. m = 0.738091 +0.244604 I，  n = 0.19878 -0.0391479 I，  g = -1.31417-0.835165 I
   
6. kag = 0.3691 +0.92939 I,   kpq = -0.3691-0.92939 I
   
7. 由于PQ与AG的复斜率之比为 -1，所以它们垂直

复制代码

王守恩

解方程不就得了(7个未知数7个方程)？我不知道怎么上传。已知4个数(图2)：∠A,∠a,∠B,∠b

Table[Table[Table[Table[ NSolve[{A == a + f, B == b + e,  A + B + c + d == \[Pi], (Sin[a] Sin[b] Sin[c])/(Sin[f] Sin[e] Sin[d]) == 1,

(Sin[f] Sin[A + B]*CD)/(Sin[a] Sin[B] (Sin[A] - CD)) == 1, ( Sin[b] Sin[A + B]*CE)/(Sin[e] Sin[A] (Sin[B] - CE)) == 1, CD^2 + PD^2 == CE^2 + PE^2,

CD^2 + CE^2 + 2 CD* CE Cos[A + B] == PD^2 + PE^2 - 2 PD*PE Cos[A + B], \[Pi] > c > 0, \[Pi] > d > 0, PD > 0, PE > 0},

{c, d, e, f, CD, CE, PD, PE}], {A, 37 \[Degree], 37 \[Degree]}], {a, 23 \[Degree], 23 \[Degree]}], {B, 43 \[Degree], 43 \[Degree]}], {b, 29 \[Degree], 29 \[Degree]}]

{{{{{{c -> 0.311076, d -> 1.43425, e -> 0.244346, f -> 0.244346, CD -> 0.317739, CE -> 0.159371, PD -> 0.217855, PE -> 0.350742}}}}}}

紧凑一点(换汤不换药)(4个未知数4个方程)？我不知道怎么上传。已知4个数(图2)：∠A,∠a,∠B,∠b

Table[Table[Table[Table[NSolve[{(Sin[A - a] Sin[A + B]*CD)/(Sin[a] Sin[B] (Sin[A] - CD)) == ( Sin[b] Sin[A + B]*CE)/(Sin[B - b] Sin[A] (Sin[B] - CE)) == 1,

CD^2 + PD^2 == CE^2 + PE^2, CD^2 + CE^2 + 2 CD* CE Cos[A + B] == PD^2 + PE^2 - 2 PD*PE Cos[A + B], PD > 0, PE > 0}, {CD, CE, PD, PE}],

{A, 37 \[Degree], 37 \[Degree]}], {a, 23 \[Degree], 23 \[Degree]}], {B, 43 \[Degree], 43 \[Degree]}], {b, 29 \[Degree], 29 \[Degree]}]

{{{{{{CD -> 0.317739,CE -> 0.159371, PD -> 0.217855, PE -> 0.350742}}}}}}

dlsh

1. 
   
2. \!\(\*OverscriptBox["i", "_"]\) = i = 0;
   
3. 
   
4. \!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\) = 1/d;
   
5. \!\(\*OverscriptBox["e", "_"]\) = 1/e;
   
6. \!\(\*OverscriptBox["f", "_"]\) = 1/f;
   
7. a = (2 e f)/(e + f);
   
8. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) = 2/(e + f); b = (2 d f)/(d + f);
   
9. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\) = 2/(d + f); c = (2 e d)/(e + d);
   
10. \!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\) = 2/(e + d);
    
11. k[a_, b_] := (a - b)/(
    
12. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) -
    
13. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\));
    
14. \!\(\*OverscriptBox["k", "_"]\)[a_, b_] := 1/k[a, b];(*复斜率定义*)
    
15. FourPoint[a_, b_, c_, d_] := ((
    
16. \!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\) d - c
    
17. \!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\)) (a - b) - (
    
18. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) b - a
    
19. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\)) (c - d))/((a - b) (
    
20. \!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\) -
    
21. \!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\)) - (
    
22. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) -
    
23. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\)) (c - d));(*过两点A和B、C和D的交点*)
    
24. 
    
25. \!\(\*OverscriptBox["FourPoint", "_"]\)[a_, b_, c_, d_] := -(((c
    
26. \!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\) -
    
27. \!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\) d) (
    
28. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) -
    
29. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\)) - ( a
    
30. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\) -
    
31. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) b) (
    
32. \!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\) -
    
33. \!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\)))/((a - b) (
    
34. \!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\) -
    
35. \!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\)) - (
    
36. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) -
    
37. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\)) (c - d)));
    
38. s = FourPoint[a, d, b, e];
    
39. \!\(\*OverscriptBox["s", "_"]\) =
    
40. \!\(\*OverscriptBox["FourPoint", "_"]\)[a, d, b, e];
    
41. 
    
42. \!\(\*OverscriptBox["Jd", "_"]\)[k1_, a1_, k2_, a2_] := -((a1 - k1
    
43. \!\(\*OverscriptBox["a1", "_"]\) - (a2 - k2
    
44. \!\(\*OverscriptBox["a2", "_"]\)))/(
    
45.   k1 - k2));(*复斜率等于k1,过点A1与复斜率等于k2,过点A2的直线交点*)
    
46. Jd[k1_, a1_, k2_, a2_] := -((k2 (a1 - k1
    
47. \!\(\*OverscriptBox["a1", "_"]\)) - k1 (a2 - k2
    
48. \!\(\*OverscriptBox["a2", "_"]\)))/(k1 - k2));
    
49. h = Jd[-d e, b, -e^2, c];
    
50. \!\(\*OverscriptBox["h", "_"]\) =
    
51. \!\(\*OverscriptBox["Jd", "_"]\)[-d e, b, -e^2, c]; g =
    
52. Jd[-d f, c, -f^2, b];
    
53. \!\(\*OverscriptBox["g", "_"]\) =
    
54. \!\(\*OverscriptBox["Jd", "_"]\)[-d f, c, -f^2, b];
    
55. t = FourPoint[h, g, b, c];
    
56. \!\(\*OverscriptBox["t", "_"]\) =
    
57. \!\(\*OverscriptBox["FourPoint", "_"]\)[h, g, b, c];
    
58. Simplify[{s,
    
59. \!\(\*OverscriptBox["s", "_"]\), , g,
    
60. \!\(\*OverscriptBox["g", "_"]\), , h,
    
61. \!\(\*OverscriptBox["h", "_"]\)}]
    
62. Simplify[{s/
    
63. \!\(\*OverscriptBox["s", "_"]\), , t,
    
64. \!\(\*OverscriptBox["t", "_"]\), , k[a, t], , k[a, t] + k[s, i]}]
    
65. 
    
66. 
    

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葛金刚点与内心的情形，比较简单。