数学研发论坛

 找回密码
 欢迎注册
查看: 344|回复: 15

[讨论] 三角形的达布点对

[复制链接]
发表于 2021-12-27 11:33:02 | 显示全部楼层 |阅读模式

马上注册,结交更多好友,享用更多功能,让你轻松玩转社区。

您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?欢迎注册

x
△ABC内一点 P 在边BC, CA, AB上的射影分别为D, E, F,若连线 AD、BE、CF 恰好交于一点 Q,则(P,Q)称为△ABC的一个达布点对。

显然,(垂心,垂心)是一个重合的达布点对,(外心,重心)是一个达布点对。

对于等腰△,底边的高线上的任意点显然都是一个达布点对的P点,并且对应的Q点也在底边的高线上。

问:对于一般△,还有更多的达布点对吗?
求 P 点位置.png
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-12-27 11:57:41 | 显示全部楼层
显然无穷个

点评

是的,有无穷多个。  发表于 2021-12-27 23:29
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-12-27 21:30:05 | 显示全部楼层
如果是無窮多個,那這可以說是一個定理。有這個定理嗎?

点评

最近跟网友们学习以后,知道确实有这个定理。是一个叫达布的数学家发现的。二维的达布定理大意是: 当 AD、BE、CF 交于一点时, P 点一定在达布曲线上。另外还有三维的达布定理。  发表于 2021-12-28 10:25
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2021-12-27 23:38:33 | 显示全部楼层
本帖最后由 TSC999 于 2021-12-28 10:37 编辑

设 t、u、v 是 0 到 1 之间的正数,它们是决定 BC、CA、AB 边上 D、E、F 位置的定比分点系数。

如果先在 BC 边上任取一点 D,则可知道 t  的数值。然后按下面第二张图的计算公式可算出 u、v 的值,从而也就确定了 P 点的位置。

由于 D 点位置可任意取,所以符合要求的 P 点有无穷多个。对于一个确定的三角形,P 点及 Q 点的轨迹是确定的。

u v.png

mathematica 给出的方程的解有两组,其实它的解答是绌劣的,经过人工分析,可以把两组解合并成一组。见下图。下图中的公式也许

还能进一步简化。公式中的 a、b、c 是三角形各边的长度,即 BC=a,CA=b,AB=c。

u v 图像.png

点评

t,v也可以是负数,因为Ceva定理在延长线上也成立。  发表于 2022-1-5 21:30
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2021-12-28 00:07:10 | 显示全部楼层
本帖最后由 TSC999 于 2021-12-28 08:48 编辑

对于主贴中的那个三角形,实测  BC= a = 1.55903;  CA = b = 1.09884;   AB = c = 1.99089;  BD/DC = t =0.715233,  算出  CE/EA = u = 0.365101,  AF/FB = v = 0.40911  均与实测数据符合。

按上面的 a、b、c  数据如何在三角形中画出 P 点和 Q 点的轨迹?

另外,关于 u (t) 和 v (t) 的公式能否再简化? 为验证简化是否正确,下面用程序代码方式给出了公式,以方便复制。

  1. a = 1.55903; b = 1.09884; c = 1.99089; t = 0.71523;
  2. u = ((1 -  t)  (-Sqrt[b^4 + 2 c^2 (8 t^2 - 8 t + 1) b^2 + c^4 + a^4 (1 - 2 t)^4 -  2 a^2 (b^2 + c^2) (1 - 2 t)^2] + (-b^2 + a^2 (1 - 2 t)^2 +
  3.       c^2 (4 t - 1))))/((2 t - 1) (Sqrt[ b^4 + 2 c^2 (8 t^2 - 8 t + 1) b^2 + c^4 + a^4 (1 - 2 t)^4 - 2 a^2 (b^2 + c^2) (1 - 2 t)^2]  + (b^2 + c^2 - a^2 (1 - 2 t)^2) ))
  4. v = (b^2 - 3 c^2 - a^2 (1 - 2 t)^2 + 4 c^2 t + Sqrt[b^4 + 2 c^2 (8 t^2 - 8 t + 1) b^2 + c^4 + a^4 (1 - 2 t)^4 - 2 a^2 (b^2 + c^2) (1 - 2 t)^2])/(4 c^2 (2 t - 1))
复制代码
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2021-12-28 10:08:13 | 显示全部楼层
本帖最后由 TSC999 于 2021-12-28 10:32 编辑

下面这个截图是【初等数学讨论】网站站长 kuing 发的 P 点的轨迹图。原图是动态图,文件超过 500k 发不上来,下面只是一个截图。原图见 http://kuing.orzweb.net/viewthre ... &extra=page%3D1

下面这个轨迹图是当三角形是边长为 3、4、5 的直角三角形时 P 点的轨迹。这是一条三次曲线,据说叫做 “达布三次曲线”。有定理:当 AD、BE、CF  共点时 P 点一定在达布曲线上。

直角三角形时 P 点的轨迹曲线.png

据说三维的达布定理的曲线方程是 $ (cosA-cosB cosC)x(y^2-z^2)+(cosB-cosC cosA)y(z^2-x^2)+(cosC-cosA cosB)z(x^2-y^2)=0 $

式中 A、B、C 是三角形的三个角。

二维的达布曲线是什么样的?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2022-1-7 20:46:14 | 显示全部楼层

如何用 mathematica 机器证明一个看似并不复杂的平面几何问题

用 mathematica 软件机器证明下面这个并不复杂的平面几何问题。不要用纯几何方法证明。

下面图 1 中,已知 (P,Q)是ΔABC 的一个达布点对,BM⊥CP,BM 交 CA 或其延长线于 M,  CN⊥BP,CN 交 BA 或其延长线于 N,MN 的延长线交 BC 或其延长线于 G。

试证明 :PQ ⊥AG

证明垂直图 1.png

我感觉这个问题的难处在于达布点对不易作图,例如在图 1 中,令三角形 ABC 的外接圆是单位圆且 BC 边与实轴平行,

当 D 点的位置确定下来后,E、F 的位置是需要用复杂公式才能计算得到的,见图 2。

证明垂直图 2.png

在上面图 2 中,令边长 \(BC=a\),\(CA=b\),\(AB=c\),当 \( x \) 给定以后,就确定了 D 点的位置。\( y、z \) 的值可按下面两式计算:

\( y = (-a^2 x^2 - b^2 + c^2 -  \sqrt{(a^2 x^2 + b^2 - c^2)^2 - 4 b^2 x (a^2 x - c^2 x)})/(2 b^2 x)\)  ------------------------------①
\( z = (-a^2 x^2 + b^2 - c^2 + \sqrt{(a^2 x^2 + b^2 - c^2)^2 - 4 b^2 x (a^2 x - c^2 x)})/(2 c^2 x)\)   ------------------------------②

现在的问题是,如果在程序中引用了上面的公式,计算就变得十分复杂,无法证明成功。

如果只是进行数字验证,那是没有任何困难的。为抛砖引玉,下面给出一个数字验证的程序供参考。

能不能避开上面两个复杂公式而进行证明?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2022-1-7 21:39:00 | 显示全部楼层
本帖最后由 TSC999 于 2022-1-7 21:49 编辑

下面的程序中,\(λ\),\(μ\), \(η\) 是 \(BC、CA、AB\) 各边上 \(D、E、F\) 点的定比分割系数,即 \(λ=BD/BC\),\(μ=CE/CA\), \(η=AF/AB\)。这三个系数与主帖中的 \(x, y, z\) 有如下关系:

\(x=1-2λ\),\(y=1-2μ\),\(z=1-2η\)。\(λ\),\(μ\), \(η\) 的取值范围都是 0 到 +1, \(x, y, z\) 的取值范围都是 -1 到 +1。

  1. Clear["Global`*"]; \
  2. (*三角形的外接圆为单位圆进行构图以证明PQ\[UpTee]AG,以下是数字验证,如果去掉数字算出的公式极复杂,证明不成功!*)
  3. (*令\[CapitalDelta]ABC的外接圆为单位圆O,BC边平行于实轴,因此BC的复斜率为 \
  4. 1。已知AB、AC的复斜率分别为-ab和-ac *)
  5. Clear["Global`*"];
  6. \[Lambda] = 0.6; \[Lambda] = 0.85; \[Lambda] = 0.9; \[Lambda] = \
  7. 0.45; \[Lambda] = 0.3; \[Lambda] = 0.05; \[Lambda] = 0.27; \[Lambda] \
  8. = 0.73; (*\[Lambda]是除0.5外的任给数据*)
  9. (*对于以上任一个\[Lambda]数据,程序运行结果都能验证PQ垂直于AG的结论*)
  10. a = 0.8 + Sqrt[1 - 0.8^2] I;  b = -0.55 - Sqrt[1 - 0.55^2] I;  c =
  11. 0.55 - Sqrt[1 - 0.55^2] I;(*任给测试数据*)

  12. \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) = 0.8 - Sqrt[1 - 0.8^2] I;  
  13. \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) = -0.55 + Sqrt[1 - 0.55^2] I;  
  14. \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) = 0.55 + Sqrt[1 - 0.55^2] I;
  15. u = -Sqrt[-a b]; v = Sqrt[-a c];(*不用数字计算时 u,v 是两个自由变量*)
  16. o = 0;
  17. \!\(\*OverscriptBox[\(o\), \(_\)]\) = 0; a = I u v;  b = (
  18. I u)/v; c = (I v)/u;  
  19. \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) = 1/a;  
  20. \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) = 1/b;  
  21. \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) = 1/c;
  22. Print["a = ", a, ", b = ", b, ",  c = ", c];
  23. kab = -a b; kac = -a c; (*AB和AC的复斜率,因为A、B、C都在单位圆上,故有此公式*)
  24. BC = Simplify[(c - b)/1]; CA = Simplify[(a - c)/Sqrt[kac] ]; AB =
  25. Simplify[(b - a)/-Sqrt[kab]]; (*线段BC、CA、AB的长度*)
  26. Print["BC = ", Re[BC], ", CA = ", Re[CA], ",  AB = ",
  27.   Re[AB]];(*由于计算有误差,导致算出的边长有很小的虚部,显示时宜将虚部忽略*)
  28. x = 1 - 2 \[Lambda];
  29. d = Simplify[b + (c - b) (1 - x)/2];
  30. \!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\) = Simplify[
  31. \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) + (
  32. \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) -
  33. \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\)) (1 - x)/
  34.     2];(*BC上D点的\[Lambda]=(1-x)/2*)(*直线BC上有一点D,BD/BC=\[Lambda],则D点坐标d=\
  35. b+(c-b)\[Lambda]; Overscript[d, _]=Overscript[b, _]+(Overscript[c, \
  36. _]-Overscript[b, _])\[Lambda]。上式中的 x 是一个自由变量;*)
  37.    y = Simplify[(-BC^2 x^2 - CA^2 + AB^2 -
  38.    Sqrt[(BC^2 x^2 + CA^2 - AB^2)^2 - 4 CA^2 x (BC^2 x - AB^2 x)])/(
  39.   2 CA^2 x)]; (*\[Lambda]不能取0.5,否则x=0导致分母为零!*)
  40. (*陆教授公式,CA上E的定比分点系数为(1-y)/2*)
  41.   z = Simplify[(-BC^2 x^2 + CA^2 - AB^2 +
  42.    Sqrt[(BC^2 x^2 + CA^2 - AB^2)^2 - 4 CA^2 x (BC^2 x - AB^2 x)])/(
  43.   2 AB^2 x)];(*AB上F的定比分点系数为(1-z)/2*)
  44. e = Simplify[c + (a - c) (1 - y)/2];
  45. \!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\) = Simplify[
  46. \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) + (
  47. \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) -
  48. \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\)) (1 - y)/2];
  49. f = Simplify[a + (b - a) (1 - z)/2];
  50. \!\(\*OverscriptBox[\(f\), \(_\)]\) = Simplify[
  51. \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) + (
  52. \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) -
  53. \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\)) (1 - z)/2];
  54. Print["d = ", d, ", e = ", e, ", f = ", f];
  55. Jd[k1_, a1_, k2_, a2_] := -((k2 (a1 - k1
  56. \!\(\*OverscriptBox[\(a1\), \(_\)]\)) - k1 (a2 - k2
  57. \!\(\*OverscriptBox[\(a2\), \(_\)]\)))/(
  58.   k1 - k2));(*复斜率等于k1,过点A1与复斜率等于k2,过点A2的直线交点*)

  59. \!\(\*OverscriptBox[\(Jd\), \(_\)]\)[k1_, a1_, k2_, a2_] := -((a1 - k1
  60. \!\(\*OverscriptBox[\(a1\), \(_\)]\) - (a2 - k2
  61. \!\(\*OverscriptBox[\(a2\), \(_\)]\)))/(k1 - k2));
  62. p = Simplify[Jd[-1, d, a b, f]];
  63. \!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\) = Simplify[
  64. \!\(\*OverscriptBox[\(Jd\), \(_\)]\)[-1, d, a b, f]];
  65. q = Simplify[Jd[(c - f)/(
  66. \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) -
  67. \!\(\*OverscriptBox[\(f\), \(_\)]\)), c, (b - e)/(
  68. \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) -
  69. \!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\)), b]];
  70. \!\(\*OverscriptBox[\(q\), \(_\)]\) = Simplify[
  71. \!\(\*OverscriptBox[\(Jd\), \(_\)]\)[(c - f)/(
  72. \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) -
  73. \!\(\*OverscriptBox[\(f\), \(_\)]\)), c, (b - e)/(
  74. \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) -
  75. \!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\)), b]];
  76. Print["p = ", p, ",  q = ", q];
  77. m = Simplify[Jd[kac, c, (p - c)/(
  78. \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) -
  79. \!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\)), b]];
  80. \!\(\*OverscriptBox[\(m\), \(_\)]\) = Simplify[
  81. \!\(\*OverscriptBox[\(Jd\), \(_\)]\)[kac, c, (p - c)/(
  82. \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) -
  83. \!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\)), b]];
  84. n = Simplify[Jd[kab, b, (p - b)/(
  85. \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) -
  86. \!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\)), c]];
  87. \!\(\*OverscriptBox[\(n\), \(_\)]\) = Simplify[
  88. \!\(\*OverscriptBox[\(Jd\), \(_\)]\)[kab, b, (p - b)/(
  89. \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) -
  90. \!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\)), c]];
  91. g = Simplify[Jd[1, b, (m - n)/(
  92. \!\(\*OverscriptBox[\(m\), \(_\)]\) -
  93. \!\(\*OverscriptBox[\(n\), \(_\)]\)), m]];
  94. \!\(\*OverscriptBox[\(g\), \(_\)]\) = Simplify[
  95. \!\(\*OverscriptBox[\(Jd\), \(_\)]\)[1, b, (m - n)/(
  96. \!\(\*OverscriptBox[\(m\), \(_\)]\) -
  97. \!\(\*OverscriptBox[\(n\), \(_\)]\)), m]];
  98. Print["m = ", m, ",  n = ", n, ",  g = ", g];
  99. kag = Simplify[(a - g)/(
  100. \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) -
  101. \!\(\*OverscriptBox[\(g\), \(_\)]\))]; kpq = Simplify[(p - q)/(
  102. \!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\) -
  103. \!\(\*OverscriptBox[\(q\), \(_\)]\))];
  104. Print["kag = ", kag, ",   kpq = ", kpq];
  105. If[-0.9999999999999 > Re[kpq/kag] > -1.0000000000001 &&  
  106.   Im[Abs[kpq/kag]] < 10^-15, Print["由于PQ与AG的复斜率之比为 -1,所以它们垂直"] ]
复制代码


运行结果是:

  1. a = 0.8 +0.6 I, b = -0.55-0.835165 I,  c = 0.55 -0.835165 I
  2. BC = 1.1, CA = 1.45678,  AB = 1.97033
  3. d = 0.253 -0.835165 I, e = 0.601153 -0.54151 I, f = 0.00378844 -0.246441 I
  4. p = 0.253 -0.480864 I,  q = 0.339482 -0.608262 I
  5. m = 0.738091 +0.244604 I,  n = 0.19878 -0.0391479 I,  g = -1.31417-0.835165 I
  6. kag = 0.3691 +0.92939 I,   kpq = -0.3691-0.92939 I
  7. 由于PQ与AG的复斜率之比为 -1,所以它们垂直
复制代码
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2022-1-8 12:09:31 | 显示全部楼层
解方程不就得了(7个未知数7个方程)?我不知道怎么上传。已知4个数(图2):∠A,∠a,∠B,∠b

Table[Table[Table[Table[ NSolve[{A == a + f, B == b + e,  A + B + c + d == \[Pi], (Sin[a] Sin[b] Sin[c])/(Sin[f] Sin[e] Sin[d]) == 1,

(Sin[f] Sin[A + B]*CD)/(Sin[a] Sin[B] (Sin[A] - CD)) == 1, ( Sin[b] Sin[A + B]*CE)/(Sin[e] Sin[A] (Sin[B] - CE)) == 1, CD^2 + PD^2 == CE^2 + PE^2,

CD^2 + CE^2 + 2 CD* CE Cos[A + B] == PD^2 + PE^2 - 2 PD*PE Cos[A + B], \[Pi] > c > 0, \[Pi] > d > 0, PD > 0, PE > 0},

{c, d, e, f, CD, CE, PD, PE}], {A, 37 \[Degree], 37 \[Degree]}], {a, 23 \[Degree], 23 \[Degree]}], {B, 43 \[Degree], 43 \[Degree]}], {b, 29 \[Degree], 29 \[Degree]}]

{{{{{{c -> 0.311076, d -> 1.43425, e -> 0.244346, f -> 0.244346, CD -> 0.317739, CE -> 0.159371, PD -> 0.217855, PE -> 0.350742}}}}}}

紧凑一点(换汤不换药)(4个未知数4个方程)?我不知道怎么上传。已知4个数(图2):∠A,∠a,∠B,∠b

Table[Table[Table[Table[NSolve[{(Sin[A - a] Sin[A + B]*CD)/(Sin[a] Sin[B] (Sin[A] - CD)) == ( Sin[b] Sin[A + B]*CE)/(Sin[B - b] Sin[A] (Sin[B] - CE)) == 1,

CD^2 + PD^2 == CE^2 + PE^2, CD^2 + CE^2 + 2 CD* CE Cos[A + B] == PD^2 + PE^2 - 2 PD*PE Cos[A + B], PD > 0, PE > 0}, {CD, CE, PD, PE}],

{A, 37 \[Degree], 37 \[Degree]}], {a, 23 \[Degree], 23 \[Degree]}], {B, 43 \[Degree], 43 \[Degree]}], {b, 29 \[Degree], 29 \[Degree]}]

{{{{{{CD -> 0.317739,CE -> 0.159371, PD -> 0.217855, PE -> 0.350742}}}}}}

点评

数值验证可以证明,但是需要理论支持。  发表于 2022-1-14 22:45
数字解是没问题的,好算。但是数字解不能算是证明,只能算是验证。  发表于 2022-1-9 11:21
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2022-1-15 21:20:22 | 显示全部楼层

  1. \!\(\*OverscriptBox["i", "_"]\) = i = 0;

  2. \!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\) = 1/d;
  3. \!\(\*OverscriptBox["e", "_"]\) = 1/e;
  4. \!\(\*OverscriptBox["f", "_"]\) = 1/f;
  5. a = (2 e f)/(e + f);
  6. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) = 2/(e + f); b = (2 d f)/(d + f);
  7. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\) = 2/(d + f); c = (2 e d)/(e + d);
  8. \!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\) = 2/(e + d);
  9. k[a_, b_] := (a - b)/(
  10. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) -
  11. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\));
  12. \!\(\*OverscriptBox["k", "_"]\)[a_, b_] := 1/k[a, b];(*复斜率定义*)
  13. FourPoint[a_, b_, c_, d_] := ((
  14. \!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\) d - c
  15. \!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\)) (a - b) - (
  16. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) b - a
  17. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\)) (c - d))/((a - b) (
  18. \!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\) -
  19. \!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\)) - (
  20. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) -
  21. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\)) (c - d));(*过两点A和B、C和D的交点*)

  22. \!\(\*OverscriptBox["FourPoint", "_"]\)[a_, b_, c_, d_] := -(((c
  23. \!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\) -
  24. \!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\) d) (
  25. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) -
  26. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\)) - ( a
  27. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\) -
  28. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) b) (
  29. \!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\) -
  30. \!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\)))/((a - b) (
  31. \!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\) -
  32. \!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\)) - (
  33. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) -
  34. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\)) (c - d)));
  35. s = FourPoint[a, d, b, e];
  36. \!\(\*OverscriptBox["s", "_"]\) =
  37. \!\(\*OverscriptBox["FourPoint", "_"]\)[a, d, b, e];

  38. \!\(\*OverscriptBox["Jd", "_"]\)[k1_, a1_, k2_, a2_] := -((a1 - k1
  39. \!\(\*OverscriptBox["a1", "_"]\) - (a2 - k2
  40. \!\(\*OverscriptBox["a2", "_"]\)))/(
  41.   k1 - k2));(*复斜率等于k1,过点A1与复斜率等于k2,过点A2的直线交点*)
  42. Jd[k1_, a1_, k2_, a2_] := -((k2 (a1 - k1
  43. \!\(\*OverscriptBox["a1", "_"]\)) - k1 (a2 - k2
  44. \!\(\*OverscriptBox["a2", "_"]\)))/(k1 - k2));
  45. h = Jd[-d e, b, -e^2, c];
  46. \!\(\*OverscriptBox["h", "_"]\) =
  47. \!\(\*OverscriptBox["Jd", "_"]\)[-d e, b, -e^2, c]; g =
  48. Jd[-d f, c, -f^2, b];
  49. \!\(\*OverscriptBox["g", "_"]\) =
  50. \!\(\*OverscriptBox["Jd", "_"]\)[-d f, c, -f^2, b];
  51. t = FourPoint[h, g, b, c];
  52. \!\(\*OverscriptBox["t", "_"]\) =
  53. \!\(\*OverscriptBox["FourPoint", "_"]\)[h, g, b, c];
  54. Simplify[{s,
  55. \!\(\*OverscriptBox["s", "_"]\), , g,
  56. \!\(\*OverscriptBox["g", "_"]\), , h,
  57. \!\(\*OverscriptBox["h", "_"]\)}]
  58. Simplify[{s/
  59. \!\(\*OverscriptBox["s", "_"]\), , t,
  60. \!\(\*OverscriptBox["t", "_"]\), , k[a, t], , k[a, t] + k[s, i]}]


复制代码
葛金刚点与达布曲线.gif
葛金刚点与内心的情形,比较简单。

点评

适用于旁心  发表于 2022-1-15 21:21
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
您需要登录后才可以回帖 登录 | 欢迎注册

本版积分规则

小黑屋|手机版|数学研发网 ( 苏ICP备07505100号 )

GMT+8, 2022-1-29 04:06 , Processed in 0.060848 second(s), 21 queries .

Powered by Discuz! X3.4

© 2001-2017 Comsenz Inc.

快速回复 返回顶部 返回列表