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[提问] 以下关于A乘可逆矩阵后秩不变的证明是否不完整?

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发表于 2022-1-9 19:07:07 | 显示全部楼层 |阅读模式

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本帖最后由 jiewenji 于 2022-1-9 19:09 编辑

原证明如下:
若 EA = R 且 E 是可逆,为什么 A 与 R 有相同的零空间?
解   若 Ax = 0 则  Rx = EAx = E0 = 0   若 Rx = 0 则  Ax =E-1Rx = E-10 = 0   A 与 R 有同样的行空间及同样的秩。


我觉得证明过程不完整应作如下补充,请看是否画蛇添足
设A是mxn的矩阵,则EA=R,R还是mxn的矩阵。由上述证明可知A与R有相同的“零空间维度”。所以A与R的行空间维度都是n-“零空间维度”。所以A与R有相同的行空间维度,所以A与R秩相等。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
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