以下关于A乘可逆矩阵后秩不变的证明是否不完整？

jiewenji

原证明如下：
若 EA = R 且 E 是可逆,为什么 A 与 R 有相同的零空间?
解   若 Ax = 0 则  Rx = EAx = E0 = 0   若 Rx = 0 则  Ax =E^-1Rx = E^-10 = 0   A 与 R 有同样的行空间及同样的秩。


我觉得证明过程不完整应作如下补充，请看是否画蛇添足
设A是mxn的矩阵，则EA=R,R还是mxn的矩阵。由上述证明可知A与R有相同的“零空间维度”。所以A与R的行空间维度都是n-“零空间维度”。所以A与R有相同的行空间维度，所以A与R秩相等。