训练营成员的能力值分布(2)

KeyTo9_Fans

本题是

https://bbs.emath.ac.cn/thread-18122-1-1.html

的三维扩展，也就是本题的能力值变成了一个三维向量 (x,y,z)。

本题的问题描述如下：

某个训练营起初只有 1 个人，他的能力值为 (0,0,0)。

然后新成员一个一个地尝试闯营。

所有新成员的能力值的三个分量 x,y,z 都是在 [0,1] 区间均匀分布的独立随机数。

训练营门口由一名已有成员担任守卫，后续新人要与营门守卫分别比较能力值的三个分量，

新人的三项能力值至少要有两项大于营门守卫对应的能力值，才能进入为成员。

每次有人闯营之后，不论成败，守卫都要在整个营内重新随机选派。

假定一共有 n 个人闯营，

问：当 n 趋向于无穷大时，

(1) 训练营里的成员个数和 n 呈现什么样的函数关系？

(2) 这些成员的能力值分布有什么规律（是否可以用某个概率密度函数来表示）？

我的猜想：

(1) 成正比。

(2) 稳定后的分布不是 (1,1,1) 了，应该是一个比较神奇的密度函数。

.·.·.

1. test=function(N){
   
2.   a=matrix(0,3,N)
   
3.   v=as.integer()
   
4.   for(i in 2:N){
   
5.     repeat{
   
6.       v=a[,as.integer(runif(1,1,i))]
   
7.       b=runif(3)
   
8.       if(sum(b>=v)>=2)break
   
9.     }
   
10.     a[,i]=b
    
11.   }
    
12.   a
    
13. }
    
14. a=test(1000000) # ~20 seconds

复制代码

拿R稍微跑了一下，(2)应该是对的（因为时间消耗是线性的），而(2)可以保证(1)是对的
稳定分布应该是一个积分方程或者一个微分方程（具体是哪个我只能说我PDE没学好……）