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[原创] 训练营成员的能力值分布(2)

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发表于 2022-1-11 18:32:20 | 显示全部楼层 |阅读模式

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本题是

https://bbs.emath.ac.cn/thread-18122-1-1.html

的三维扩展,也就是本题的能力值变成了一个三维向量 (x,y,z)。

本题的问题描述如下:

某个训练营起初只有 1 个人,他的能力值为 (0,0,0)。

然后新成员一个一个地尝试闯营。

所有新成员的能力值的三个分量 x,y,z 都是在 [0,1] 区间均匀分布的独立随机数。

训练营门口由一名已有成员担任守卫,后续新人要与营门守卫分别比较能力值的三个分量,

新人的三项能力值至少要有两项大于营门守卫对应的能力值,才能进入为成员。

每次有人闯营之后,不论成败,守卫都要在整个营内重新随机选派。

假定一共有 n 个人闯营,

问:当 n 趋向于无穷大时,

(1) 训练营里的成员个数和 n 呈现什么样的函数关系?

(2) 这些成员的能力值分布有什么规律(是否可以用某个概率密度函数来表示)?

我的猜想:

(1) 成正比。

(2) 稳定后的分布不是 (1,1,1) 了,应该是一个比较神奇的密度函数。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2022-1-12 15:38:17 | 显示全部楼层
  1. test=function(N){
  2.   a=matrix(0,3,N)
  3.   v=as.integer()
  4.   for(i in 2:N){
  5.     repeat{
  6.       v=a[,as.integer(runif(1,1,i))]
  7.       b=runif(3)
  8.       if(sum(b>=v)>=2)break
  9.     }
  10.     a[,i]=b
  11.   }
  12.   a
  13. }
  14. a=test(1000000) # ~20 seconds
复制代码

拿R稍微跑了一下,(2)应该是对的(因为时间消耗是线性的),而(2)可以保证(1)是对的
稳定分布应该是一个积分方程或者一个微分方程(具体是哪个我只能说我PDE没学好……)
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