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[分享] 天山草——梅涅劳斯定理

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发表于 2022-2-5 22:22:56 | 显示全部楼层 |阅读模式

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本帖最后由 dlsh 于 2022-2-5 22:29 编辑

梅涅劳斯定理.gif
天山草老师十多年前发现的一条与梅涅劳斯定理类似的定理。
天山草——梅涅劳斯定理


毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2022-2-6 12:32:53 | 显示全部楼层
本帖最后由 TSC999 于 2022-2-6 12:43 编辑

梅涅劳斯定理是中学生应当掌握的,但是这个定理不容易记住,为了辅导小孙子功课,当年想出了这么一个方便记忆的东西,可视为广义梅涅劳斯定理。

原帖子是 2009 年发在【数学中国】上,帖名是 “梅涅劳斯新解”, 网址为 http://www.mathchina.com/bbs/for ... 8%C0%ED%D0%C2%BD%E2
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2022-2-8 19:39:47 | 显示全部楼层
楼主这个程序看不懂。D、E、F 的坐标为啥是那样表达的?  线段的长度又是如何通过点的坐标计算的? 另外,程序代码应当随帖子发上来,这样便于读者下载研究。
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毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2022-2-8 19:45:39 | 显示全部楼层
  1. Clear["Global`*"]

  2. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) = 1/a;
  3. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\) = 1/b;
  4. \!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\) =
  5. 1/c;(*假设\[EmptyUpTriangle]ABC外接圆圆心在原点,并且外接圆是单位圆*)
  6. sol = Solve[{f + a b
  7. \!\(\*OverscriptBox["f", "_"]\) == a + b, f - k
  8. \!\(\*OverscriptBox["f", "_"]\) == u, d + c b
  9. \!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\) == c + b, d - k
  10. \!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\) == u, e + a c
  11. \!\(\*OverscriptBox["e", "_"]\) == a + c, e - k
  12. \!\(\*OverscriptBox["e", "_"]\) == u}, {d,
  13. \!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\), e,
  14. \!\(\*OverscriptBox["e", "_"]\), f,
  15. \!\(\*OverscriptBox["f", "_"]\)}];(*假设直线EF的复斜率等于k,u是常数*)

  16. \!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\) =
  17. \!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\) /. sol;
  18. \!\(\*OverscriptBox["e", "_"]\) =
  19. \!\(\*OverscriptBox["e", "_"]\) /. sol;
  20. \!\(\*OverscriptBox["f", "_"]\) =
  21. \!\(\*OverscriptBox["f", "_"]\) /. sol;
  22. Simplify[{
  23. \!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\),
  24. \!\(\*OverscriptBox["e", "_"]\),
  25. \!\(\*OverscriptBox["f", "_"]\), , (
  26. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) -
  27. \!\(\*OverscriptBox["f", "_"]\))/(
  28. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\) -
  29. \!\(\*OverscriptBox["f", "_"]\)), (
  30. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\) -
  31. \!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\))/(
  32. \!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\) -
  33. \!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\)), (
  34. \!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\) -
  35. \!\(\*OverscriptBox["e", "_"]\))/(
  36. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) -
  37. \!\(\*OverscriptBox["e", "_"]\)), , (
  38. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) -
  39. \!\(\*OverscriptBox["f", "_"]\))/(
  40. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\) -
  41. \!\(\*OverscriptBox["f", "_"]\)) (
  42. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\) -
  43. \!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\))/(
  44. \!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\) -
  45. \!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\)) (
  46. \!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\) -
  47. \!\(\*OverscriptBox["e", "_"]\))/(
  48. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) -
  49. \!\(\*OverscriptBox["e", "_"]\))}](*验证梅涅劳斯定理*)

  50. Simplify[{(
  51. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) -
  52. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\))/(
  53. \!\(\*OverscriptBox["f", "_"]\) -
  54. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\)), (
  55. \!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\) -
  56. \!\(\*OverscriptBox["f", "_"]\))/(
  57. \!\(\*OverscriptBox["e", "_"]\) -
  58. \!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\)), (
  59. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) -
  60. \!\(\*OverscriptBox["e", "_"]\))/(
  61. \!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\) -
  62. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\)), (
  63. \!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\) -
  64. \!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\))/(
  65. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\) -
  66. \!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\)), (
  67. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) -
  68. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\))/(
  69. \!\(\*OverscriptBox["f", "_"]\) -
  70. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\)) (
  71. \!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\) -
  72. \!\(\*OverscriptBox["f", "_"]\))/(
  73. \!\(\*OverscriptBox["e", "_"]\) -
  74. \!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\)) (
  75. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) -
  76. \!\(\*OverscriptBox["e", "_"]\))/(
  77. \!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\) -
  78. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\)) (
  79. \!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\) -
  80. \!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\))/(
  81. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\) -
  82. \!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\))}](*验证天山草梅涅劳斯定理新发现*)
  83. (AB/BF) (FD/DE) (EF/FD) (DB/BC) (CE/EA) = 1
复制代码

这里用共轭向量代替长度,因为每一个分式都在一条直线上。

点评

不知道怎样整理,感觉不如传压缩文件,因为复制到软件不好看,还要重新整理  发表于 2022-2-9 19:47
程序代码贴上去以后,最好手工整理一下,以便尽量减少行数,使显示的代码短小一些。  发表于 2022-2-9 09:33
这个程序复制下来运行,每运行两次,就出现一次正常,一次不正常。好奇怪啊。  发表于 2022-2-8 22:37
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2022-2-8 21:59:55 | 显示全部楼层
本帖最后由 TSC999 于 2022-2-9 09:35 编辑

按楼主的思路,我也来个梅涅劳斯定理及定理新解的证明方法。见下面图片。

思路要点如下: 已知两个点的复数坐标,这两点之间的距离如何表达才能避免出现根式,或者出现绝对值符号。最好的办法就是利用向量方法。对于本例,使用向量比表示距离比,是典型例子。

梅氏定理新解证明方法.png

程序代码:

  1. Clear["Global`*"];
  2. b = 0; c = 1;  d = -v;  f = -u a; e = (a u (v + 1) - (u + 1) v)/( u - v);
  3. Simplify[( f - a )/(f - b) ( d - b )/(d - c) ( e - c )/(e - a)]
  4. Simplify[( e - c )/(e - a) ( b - a )/(b - f) ( e - f )/(e - d) ( b - d )/(b - c)]
复制代码
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发表于 2022-2-9 09:01:59 | 显示全部楼层
本帖最后由 TSC999 于 2022-2-9 09:41 编辑

下面再用向量比的方法证明西瓦定理。

用向量比的方法证明西瓦定理.png

程序代码如下:

  1. Clear["Global`*"];
  2. b = 0; \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) = 0; c = 1;
  3. \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) = 1;  d = v;
  4. \!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\) = v;  f = u a;
  5. \!\(\*OverscriptBox[\(f\), \(_\)]\) = u \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\);
  6. FourPoint[a_, b_, c_, d_] := ((\!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) d-c\!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\)) (a - b)- (\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) b-a\!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\)) (c - d))/((a - b) (\!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) -
  7. \!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\)) - (\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\)) (c - d));
  8. \!\(\*OverscriptBox[\(FourPoint\), \(_\)]\)[a_, b_, c_, d_] := -(((c \!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) d) (\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\)) -
  9.        ( a \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) b) (\!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\)))/((a - b) (\!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) -
  10. \!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\)) - (\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\)) (c - d)));(*直线 AB 与 CD 的交点复坐标*)
  11. o = Simplify[FourPoint[a, d, c, f]];  
  12. \!\(\*OverscriptBox[\(o\), \(_\)]\) = Simplify[\!\(\*OverscriptBox[\(FourPoint\), \(_\)]\)[a, d, c, f]];
  13. e = Simplify[FourPoint[b, o, a, c]];  
  14. \!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\) = Simplify[\!\(\*OverscriptBox[\(FourPoint\), \(_\)]\)[b, o, a, c]];
  15. Print["o = ", o, ",  e = ", e];
  16. k = Simplify[( d - b )/(c - d) ( e - c )/(a - e) ( f - a )/(b - f)];
  17. Print["\!\(\*FractionBox[\(BD\), \(DC\)]\)\!\(\*FractionBox[\(CE\), \
  18. \(EA\)]\)\!\(\*FractionBox[\(AF\), \(FB\)]\) = ", k];
复制代码

点评

CEVA定理对于三角形形外也适用,所以最好用向量商表示  发表于 2022-2-9 19:43
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 楼主| 发表于 2023-2-19 21:44:36 | 显示全部楼层
应该写进教材
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