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数学研发论坛»论坛 › 【数学研究】 › 数学欣赏 › 天山草——梅涅劳斯定理
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[分享] 天山草——梅涅劳斯定理

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dlsh
发表于 2022-2-5 22:22:56 | 显示全部楼层 |阅读模式

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本帖最后由 dlsh 于 2022-2-5 22:29 编辑

梅涅劳斯定理.gif
天山草老师十多年前发现的一条与梅涅劳斯定理类似的定理。
天山草——梅涅劳斯定理


毋因群疑而阻独见　　毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体　　毋借公论以快私情
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TSC999
发表于 2022-2-6 12:32:53 | 显示全部楼层
本帖最后由 TSC999 于 2022-2-6 12:43 编辑

梅涅劳斯定理是中学生应当掌握的，但是这个定理不容易记住，为了辅导小孙子功课，当年想出了这么一个方便记忆的东西，可视为广义梅涅劳斯定理。

原帖子是 2009 年发在【数学中国】上，帖名是 “梅涅劳斯新解”， 网址为 http://www.mathchina.com/bbs/for ... 8%C0%ED%D0%C2%BD%E2
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TSC999
发表于 2022-2-8 19:39:47 | 显示全部楼层
楼主这个程序看不懂。D、E、F 的坐标为啥是那样表达的？  线段的长度又是如何通过点的坐标计算的？ 另外，程序代码应当随帖子发上来，这样便于读者下载研究。
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dlsh
 楼主| 发表于 2022-2-8 19:45:39 | 显示全部楼层
  1. Clear["Global`*"]

  3. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) = 1/a;
  4. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\) = 1/b;
  5. \!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\) =
  6. 1/c;(*假设\[EmptyUpTriangle]ABC外接圆圆心在原点，并且外接圆是单位圆*)
  7. sol = Solve[{f + a b
  8. \!\(\*OverscriptBox["f", "_"]\) == a + b, f - k
  9. \!\(\*OverscriptBox["f", "_"]\) == u, d + c b
  10. \!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\) == c + b, d - k
  11. \!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\) == u, e + a c
  12. \!\(\*OverscriptBox["e", "_"]\) == a + c, e - k
  13. \!\(\*OverscriptBox["e", "_"]\) == u}, {d,
  14. \!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\), e,
  15. \!\(\*OverscriptBox["e", "_"]\), f,
  16. \!\(\*OverscriptBox["f", "_"]\)}];(*假设直线EF的复斜率等于k,u是常数*)

  18. \!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\) =
  19. \!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\) /. sol;
  20. \!\(\*OverscriptBox["e", "_"]\) =
  21. \!\(\*OverscriptBox["e", "_"]\) /. sol;
  22. \!\(\*OverscriptBox["f", "_"]\) =
  23. \!\(\*OverscriptBox["f", "_"]\) /. sol;
  24. Simplify[{
  25. \!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\),
  26. \!\(\*OverscriptBox["e", "_"]\),
  27. \!\(\*OverscriptBox["f", "_"]\), , (
  28. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) -
  29. \!\(\*OverscriptBox["f", "_"]\))/(
  30. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\) -
  31. \!\(\*OverscriptBox["f", "_"]\)), (
  32. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\) -
  33. \!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\))/(
  34. \!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\) -
  35. \!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\)), (
  36. \!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\) -
  37. \!\(\*OverscriptBox["e", "_"]\))/(
  38. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) -
  39. \!\(\*OverscriptBox["e", "_"]\)), , (
  40. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) -
  41. \!\(\*OverscriptBox["f", "_"]\))/(
  42. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\) -
  43. \!\(\*OverscriptBox["f", "_"]\)) (
  44. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\) -
  45. \!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\))/(
  46. \!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\) -
  47. \!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\)) (
  48. \!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\) -
  49. \!\(\*OverscriptBox["e", "_"]\))/(
  50. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) -
  51. \!\(\*OverscriptBox["e", "_"]\))}](*验证梅涅劳斯定理*)

  53. Simplify[{(
  54. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) -
  55. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\))/(
  56. \!\(\*OverscriptBox["f", "_"]\) -
  57. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\)), (
  58. \!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\) -
  59. \!\(\*OverscriptBox["f", "_"]\))/(
  60. \!\(\*OverscriptBox["e", "_"]\) -
  61. \!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\)), (
  62. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) -
  63. \!\(\*OverscriptBox["e", "_"]\))/(
  64. \!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\) -
  65. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\)), (
  66. \!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\) -
  67. \!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\))/(
  68. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\) -
  69. \!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\)), (
  70. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) -
  71. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\))/(
  72. \!\(\*OverscriptBox["f", "_"]\) -
  73. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\)) (
  74. \!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\) -
  75. \!\(\*OverscriptBox["f", "_"]\))/(
  76. \!\(\*OverscriptBox["e", "_"]\) -
  77. \!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\)) (
  78. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) -
  79. \!\(\*OverscriptBox["e", "_"]\))/(
  80. \!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\) -
  81. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\)) (
  82. \!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\) -
  83. \!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\))/(
  84. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\) -
  85. \!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\))}](*验证天山草梅涅劳斯定理新发现*)
  86. (AB/BF) (FD/DE) (EF/FD) (DB/BC) (CE/EA) = 1
复制代码

这里用共轭向量代替长度，因为每一个分式都在一条直线上。

点评

dlsh
不知道怎样整理，感觉不如传压缩文件，因为复制到软件不好看，还要重新整理  发表于 2022-2-9 19:47
TSC999
程序代码贴上去以后，最好手工整理一下，以便尽量减少行数，使显示的代码短小一些。  发表于 2022-2-9 09:33
TSC999
这个程序复制下来运行，每运行两次，就出现一次正常，一次不正常。好奇怪啊。  发表于 2022-2-8 22:37
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TSC999
发表于 2022-2-8 21:59:55 | 显示全部楼层
本帖最后由 TSC999 于 2022-2-9 09:35 编辑

按楼主的思路，我也来个梅涅劳斯定理及定理新解的证明方法。见下面图片。

思路要点如下： 已知两个点的复数坐标，这两点之间的距离如何表达才能避免出现根式，或者出现绝对值符号。最好的办法就是利用向量方法。对于本例，使用向量比表示距离比，是典型例子。

梅氏定理新解证明方法.png

程序代码：

  1. Clear["Global`*"];
  2. b = 0; c = 1;  d = -v;  f = -u a; e = (a u (v + 1) - (u + 1) v)/( u - v);
  3. Simplify[( f - a )/(f - b) ( d - b )/(d - c) ( e - c )/(e - a)]
  4. Simplify[( e - c )/(e - a) ( b - a )/(b - f) ( e - f )/(e - d) ( b - d )/(b - c)]
复制代码
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TSC999
发表于 2022-2-9 09:01:59 | 显示全部楼层
本帖最后由 TSC999 于 2022-2-9 09:41 编辑

下面再用向量比的方法证明西瓦定理。

用向量比的方法证明西瓦定理.png

程序代码如下：

  1. Clear["Global`*"];
  2. b = 0; \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) = 0; c = 1;
  3. \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) = 1;  d = v;
  4. \!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\) = v;  f = u a;
  5. \!\(\*OverscriptBox[\(f\), \(_\)]\) = u \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\);
  6. FourPoint[a_, b_, c_, d_] := ((\!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) d-c\!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\)) (a - b)- (\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) b-a\!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\)) (c - d))/((a - b) (\!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) -
  7. \!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\)) - (\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\)) (c - d));
  8. \!\(\*OverscriptBox[\(FourPoint\), \(_\)]\)[a_, b_, c_, d_] := -(((c \!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) d) (\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\)) -
  9.        ( a \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) b) (\!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\)))/((a - b) (\!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) -
  10. \!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\)) - (\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\)) (c - d)));(*直线 AB 与 CD 的交点复坐标*)
  11. o = Simplify[FourPoint[a, d, c, f]];  
  12. \!\(\*OverscriptBox[\(o\), \(_\)]\) = Simplify[\!\(\*OverscriptBox[\(FourPoint\), \(_\)]\)[a, d, c, f]];
  13. e = Simplify[FourPoint[b, o, a, c]];  
  14. \!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\) = Simplify[\!\(\*OverscriptBox[\(FourPoint\), \(_\)]\)[b, o, a, c]];
  15. Print["o = ", o, "，  e = ", e];
  16. k = Simplify[( d - b )/(c - d) ( e - c )/(a - e) ( f - a )/(b - f)];
  17. Print["\!\(\*FractionBox[\(BD\), \(DC\)]\)\!\(\*FractionBox[\(CE\), \
  18. \(EA\)]\)\!\(\*FractionBox[\(AF\), \(FB\)]\) = ", k];
复制代码

点评

dlsh
CEVA定理对于三角形形外也适用，所以最好用向量商表示  发表于 2022-2-9 19:43
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dlsh
 楼主| 发表于 2023-2-19 21:44:36 | 显示全部楼层
应该写进教材
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