如何由三条角平分线长度算出各边长度？

TSC999

已知三角形各内角的平分线长分别是 \(t_a=1.05531, t_b = 1.2339,  t_c = 1.1252\) 以及平分线长与边长的计算公式，如何算出各边 \(a，b，c\) 的长度?  用任何计算软件、任何方法都可以。

计算依据是下面三个公式：

\(t_a=\frac{\sqrt{bc(b+c+a)(b+c-a)}}{b+c}\);
\(t_b=\frac{\sqrt{ca(c+a+b)(c+a-b)}}{c+a}\);
\(t_c=\frac{\sqrt{ab(a+b+c)(a+b-c)}}{a+b}\);

式中 \(t_a\) 是角 \(A\) 的平分线，余类推。\(a\) 是角 \(A\) 的对边，余类推。

如果直接用 mathematica 软件中的 NSolve 指令解上面三个方程是不行的，得出的是错误结果。

我用的是一个非常规方法，得到了下面这个正确的结果：\(a = 1.41412，  b = 1.20822，  c = 1.33451\) 。

期待看到网友们的计算方法。



补充内容 (2022-2-26 09:54):
不知道啥原因啊，现在我用 NSolve 指令测试又行了。

补充内容 (2022-2-26 19:32):
既然 NSolve 指令没有问题，本帖子就没有任何意义了。请管理员删除了吧。

yigo

TSC999

【初等数学讨论】网站的网友推荐的计算程序是：

northwolves

令$a/sinA=b/sinB=c/sinC=k$
则 $t_a=\frac{\sqrt{bc(b+c+a)(b+c-a)}}{b+c}$
$=\frac{\sqrt{bc(b^2+c^2-a^2+2bc)}}{b+c}$
$=\frac{bc\sqrt{2(1+cos(A))}}{b+c}$
$=\frac{2bc cos(A/2)){b+c}$
$=\frac{ksinBsinC }{cos((B-C)/2)}$

王守恩

northwolves 发表于 2022-2-16 15:42
令$a/sinA=b/sinB=c/sinC=k$
则 $t_a=\frac{\sqrt{bc(b+c+a)(b+c-a)}}{b+c}$
$=\frac{\sqrt{bc(b^2+c^2-a ...

这样也是可以的。

已知3条角平分线 \(t_{a},t_{b},t_{c}\)，求3条边 a,b,c,

记3条边为 \(k\sin(A),k\sin(B),k\sin(C)\),则根据面积相等，我们有

\(t_{a}\sin(A)\sin(A/2+B)=t_{b}\sin(B)\sin(B/2+C)=t_{c}\sin(C)\sin(C/2+A)=k\sin(A)\sin(B)\sin(C)\)

譬如：\(t_{a}=4,t_{b}=5,t_{c}=6\)

NSolve[{4 Sin[A] Sin[A/2 + B] == 5 Sin[B] Sin[B/2 + C] ==  6 Sin[C] Sin[C/2 + A] == k Sin[A] Sin[B] Sin[C],
  A + B + C == \[Pi], \[Pi]/2 > A > 0, \[Pi]/2 > B > 0, \[Pi]/2 > C >  0}, {A, B, C, k}]
{{A -> 1.42176, B -> 0.985725, C -> 0.734107, k -> 7.10547}}

gxqcn

由 \[t_a=\frac{\sqrt{bc(b+c+a)(b+c-a)}}{b+c}\]
可得 \[ (b+c)^2 ( b c - t_a^2 )=a^2 b c\]
其它依此类推。用楼主的数据，可列方程组：

1. NSolve[{(b + c)^2 (b c - 1.05531^2 ) == a^2 b c ,
   
2.         (c + a)^2 (c a - 1.2339^2 ) == b^2 c a,
   
3.         (a + b)^2 (a b - 1.1252^2 ) == c^2 a b,
   
4. a > 0 , b > 0, c > 0},  {a, b, c}]

复制代码

结果为：\[\{\{a \to 1.41412, b \to 1.20822, c \to 1.33451\}\}\]

其实，直接用角平分线长公式去反求，是可以得到答案的：

1. NSolve[{Sqrt[b c (b + c + a) (b + c - a)]/(b + c) == 1.05531,
   
2.         Sqrt[c a (c + a + b) (c + a - b)]/(c + a) == 1.2339,
   
3.         Sqrt[a b (a + b + c) (a + b - c)]/(a + b) == 1.1252,
   
4. a > 0, b > 0,c > 0}, {a, b, c}]

复制代码

不知为何与楼主的测试结果不同？

northwolves

这是不是中线公式？

$P_a=\sqrt{(b^2+c^2)-\frac{1}{2}a^2}$
$P_b=\sqrt{(a^2+c^2)-\frac{1}{2}b^2}$
$P_c=\sqrt{(a^2+b^2)-\frac{1}{2}c^2}$

宇宙无理数

northwolves 发表于 2022-2-26 19:04
这是不是中线公式？

$P_a=\sqrt{(b^2+c^2)-\frac{1}{2}a^2}$

这些公式都是汇心几何学中定理12.1.3的直接推论, 你若有兴趣可以根据定理12.1.3直接写出垂线长度, 外线长度等等的公式.