向量乘法为什么等同于点积？

jiewenji

有这样一道题有这样一组向量x(x1,x2,x3,x4……xm) ，x1，x2,x3,x4都是二维平面上的点。因此他们都是二维向量，这些向量都是已经中心化的向量。现在要求这些向量向平面向量u 上投影后(投影后的向量记作y(y1,y2,y3,y4……ym),y也是一组二维向量)的方差，于是有下列等式:

var(y)=var(u\(\cdot\)x)，\(\D\frac{1}{m}\sum_{i=1}^my_i^2=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m\left( x_i^Tu\right)^2=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^mu^Tx_ix\ _i^Tu\)

从上面可以看出最早的\(\D\frac{1}{m}\sum_{i=1}^my_i^2\)  这就是最原始的方差公式。按照方差公式定义。这里的\(y_{i }^{2 }\) 就是\(y_iy_i\) ，而没有点乘的意思。可是到了最后一步就变成点乘了。点乘和乘法是不一样的运算规则。可是到了这里怎么乘法就等同于点乘了？

进一步，一组数据的方差看作一组数据与均值距离的平方。从上面的逻辑看，一组向量的均值应该就是一组向量各个维度上数值的算术平均值。因为只有这样在中心化以后，二维平面上的点才会围绕原点"对称"分布。那这样向量方差的含义就是：所有点到原点距离的平方？

hujunhua

在你的方差公式里，`y_i^2`本来就是点乘的意思。不然你告诉我`y_i^2=(y_{i1},y_{i2})^2`, 右边怎么展开？

jiewenji

hujunhua 发表于 2022-2-16 15:02
在你的方差公式里，`y_i^2`本来就是点乘的意思。不然你告诉我`y_i^2=(y_{i1},y_{i2})^2`, 右边怎么展开？

现在要求这些向量向平面向量u 上投影后(投影后的向量记作y(y1,y2,y3,y4……ym),y也是一组二维向量)的方差！

我记得方差当中的平方项不是点乘的意思。是不是？

左边怎么展开？----------------这个正是我的问题之一。

hujunhua

当你用向量表示时，应该是`\D\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m||y_i||^2`

jiewenji

hujunhua 发表于 2022-2-16 21:25
当你用向量表示时，应该是`\D\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m||y_i||^2`

谢谢回复。我感觉这样就合里多了。
请问你写的表达式是否就是”向量方差“的定义？（假设所有向量已经中心化）