請問是100^99大，還是99^100大？如何證明？

ejsoon

如題

白新岭

谁大？谁小？比较其比值即可：\(99^{100}\over 100^{99}\)=99*\((1-0.01)^{99}\),后边用二项式展开式，两两合并（加放缩），大概为：99*（1/3+1/30+....）=36.3点多。
       不知分析的是否正确。

KeyTo9_Fans

如果底数和指数的乘积相同，那么底数越接近e，结果就越大。

显然后者的底数更接近e，所以后者更大。

那么怎样才算更接近呢？

如果两者都比e大，或者两者都比e小，那是很好判断的。

如果一个比e大，一个比e小，就不好判断了。

这时可以找特例来对照。

我们知道，$2^4=4^2$，所以2和4可以认为是同样接近e的。

其他数可以以2和4作为参照，进行快速判断。

northwolves

$100^99/99^100=1/99*(1+1/99)^99<\frac{e}{99}<1$

ShuXueZhenMiHu

这个问题这么火。李永乐也做了一期关于这个问题的视频。

ejsoon

ShuXueZhenMiHu 发表于 2022-2-27 20:18
这个问题这么火。李永乐也做了一期关于这个问题的视频。

我也是李永樂老師那裏看到的，但是他的證明我沒看懂，主要就是兩邊ln太跳躍了。

hejoseph

如果 $a>b\geq e$，那么 $a^b<b^a$，我们先做一下分析，如果 $a^b<b^a$，两边取自然对数，得
\[
b\ln a<a\ln b
\]
两边再除以 $ab$，得
\[
\frac{\ln a}{a}<\frac{\ln b}{b}
\]
这样目标就很明确了，只需讨论函数 $\frac{\ln x}{x}$ 的单调性。证明如下：
构造
\[
f(x)=\frac{\ln x}{x}
\]
那么
\[
f'(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}
\]
所以当 $x\geq e$ 时 $f(x)$ 是单调减的，所以 $f(a)<f(b)$，即
\[
\frac{\ln a}{a}<\frac{\ln b}{b}
\]
亦即
\[
a^b<b^a
\]

数论爱好者

只有a,b两个整数,且都大于3的话,就比较指数的大小,指数大,底数小的数为大.
底数大,指数小的数为小.
但a,b不相同,如果不用计算器,用一些纯数学解题技巧的话,解法就有好多种.
整两个看看比较大小
2^31与3^21
7^71与75^32

数论爱好者

2^31=2^30*2^1=(2^3)^10*2^1=8^10*2
3^21=3^20*3^1=(3^2)^10*3^1=9^10*3
所以2^31小于3^21

数论爱好者

7^71与75^32在快手上,老师讲的津津乐道,一时没有看懂,现在再去找,找不到了
通过取对数,两者的区别太小太小,通过减法一算,但又好像大许多