知乎上的一道概率问题

northwolves

在0-65535之间等概率随机取5000个数字，质因数分解后，得到的结果中3的个数大于1000的概率？

mathe

这个题目0怎么计算，应该算没有因子3了？
所以3^10的倍数一个，
3^9的倍数但是不是3^10的倍数的3-1=2个，
3^8的倍数但不是3^9的倍数的9-3=6个
3^7的倍数但不是3^8的倍数的29-9=20个
3^6的倍数但不是3^7的倍数的89-29=60个
3^5的倍数但不是3^6的倍数的269-89=180个
3^4的倍数但不是3^5的倍数的809-269=540个
3^3的倍数但不是3^4的倍数的2427-809=1618个
3^2的倍数但不是3^3的倍数的7281- 2427=4854个
3^1的倍数但不是3^2的倍数的21845-7281=14564个
3^0的倍数但不是3的倍数的65535-21845=43690个, 但是0我们也看成不贡献3，这一类43691个。
然后我们可以计算非常容易计算出每取一个数其中含3的因子数目的期望值和方差了。
如果取5000个数，每个数取到以后可以放回再取下一个数，那么由于数目总数足够大，根据中心极限定理可以近似用正太分布去模拟，通常来说可以得到一个不错的结果。而即使取了数据不放回，这种方法得到的误差同差也不会太大。

northwolves

mathe 发表于 2022-3-24 20:15
这个题目0怎么计算，应该算没有因子3了？
所以3^10的倍数一个，
3^9的倍数但是不是3^10的倍数的3-1=2个， ...

应该是取了数据不放回的，我还想的用母函数怎么算的，发现无从下手

mathe

上面计算结果均值为0.499847412109375，方差无偏估计为0.74904629948797026860720325300292782482，
于是取5000个数，得到因子3的期望数目为
2499.237060546875
方差为3745.2314974398513430360162650146391241，或者说标准差61.198296524003438498160248670317788910
于是3的个数小于1000的情况在44被标准差以外，这个概率非及其小，可以完全忽略