如何求解该奇异积分的级数表示？

xiaoshuchong

问题： 定积分$\int_{0}^{\infty}x^{-x}dx$如何用级数表示？

可能会有帮助的一些结论。

1. 数值结果接近2
\[\begin{eqnarray*}
S&=&\int_{0}^{\infty}x^{-x}dx\\&=&\int_{0}^{\infty}e^{-x\ln x}dx\\&=&1.99545595\cdots
\end{eqnarray*}\]
2. 0到1的积分可以用级数表示
\[\begin{eqnarray*}
S_{1}&=&\int_{0}^{1}x^{-x}dx\\&=&\sum_{n=0}^{\infty}\int_{0}^{1}\frac{1}{n!}\left(-x\ln x\right)^{n}dx\\&=&\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{\left(n+1\right)^{n+1}n!}\int_{0}^{\infty}t^{n}e^{-t}dt\\&=&\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{n}}\\&=&1.2912859970626635404072825905956005414\cdots
\end{eqnarray*}\]
该积分与另一个积分$\int_{0}^{1}x^{x}dx=-\sum_{n=1}^{\infty}\left(-n\right)^{-n}$合称为sophomore's dream
（见https://handwiki.org/wiki/Sophomore%27s_dream）

同样方法用在0到$\infty$上就发散了。