微博上过去周没人想出几何做法的几何题

majer

pid=92070

manthanein

设∠ABC=∠ACB=x（角度），那么∠CBD=π-x，∠A=π-2x，∠D=2x-50°，∠BCD=50°-x

\(\D 1=\frac{AB}{BC}+\frac{BD}{BC}=\frac{\sin x}{\sin(2x)}+\frac{\sin(50°-x)}{\sin(2x-50°)}\)

xiaoshuchong

令$x=\angle ABC$（角度制）, 则
\[\frac{AC}{AD} = \frac{\sin(2x-50)}{\sin(50)} = \frac{AB}{BC} = \frac{\sin(x)}{\sin(2x)} \]
也就是
\[\sin(2x-50)\sin(2x)=\sin(50)\sin(x)\]
容易验证x=40是一个解，此时角D为30度。

hujunhua

如图在BC上取点E，使得BE=BD，EC=AC=AB, 作等腰△GAD≌△ABC，得到简单的角度关系图。
所给已知条件为 ∠ACD=3x+2y=50°，在此条件下，如欲不借助三角函数关系得到解，
基本上只有得到 x=y 一种途径，这需要CE=DE，此时CE=DE=CG=DG=AB=BC=AG, △ACG为正三角形，
于是可得3(x+y)=60°, x=y=10°, 正好满足 3x+2y=50°的设定。

xiaoshuchong

hujunhua 发表于 2022-4-13 16:36
如图在BC上取点E，使得BE=BD，EC=AC=AB, 作等腰△GAD≌△ABC，得到简单的角度关系图。
所给已知条件为 ∠A ...

想试着做推广，把50改为其他整数度数，看看能否得到同样是整数度数的角ABC。

结果没有找到，大概只能是50

王守恩

记\(AC=\sin(D)\ \ \ AD=\sin(50)\ \ \ BC=2\sin(D)\cos(25+D/2)\ \ \ AD=BC\)
{{D -> 30.000000000000000000}, {D -> 84.758377110198983167}}

gxqcn

https://mbd.baidu.com/newspage/data/videolanding?nid=sv_16025047025243751939&sourceFrom=pc_feedlist

王守恩

gxqcn 发表于 2022-4-15 15:10

谢谢站长！很好的链接！

解法\(1,BC=\sin(D)\ \ \ \ AD=\frac{\sin(40)\sin(80-D)}{\sin(100)}\)

解法\(2,BC=\sin(100)\ \ \ \ AD=\frac{\sin(40)\sin(80-D)}{\sin(D)}\)

解法\(3,AD=\sin(80-D)\ \ \ \ BC=\frac{\sin(100)\sin(D)}{\sin(40)}\)

汇总\(1,2,3:BC=AD\ \ \ \ 1=\frac{\sin(D)\sin(100)}{\sin(40)\sin(80-D)}=\frac{\sin(D)\sin(80)}{\sin(40)\cos(10+D)}=\frac{2\sin(D)\cos(40)}{\cos(10+D)}\)

由\(2\sin(D)=1\ \ \ \cos(40)=\cos(10+D)\Rightarrow D=30\)

王守恩

王守恩 发表于 2022-4-15 16:34
谢谢站长！很好的链接！

解法\(1,BC=\sin(D)\ \ \ \ AD=\frac{\sin(40)\sin(80-D)}{\sin(100)}\)

谢谢站长！很好的链接！不能编辑了？

或：\(\frac{1}{1}=\frac{S_{△ADC}}{S_{△ADC}}=\frac{AC*CD*\sin(∠ACD)}{AD*BC*\sin(∠ABC)}=\frac{AC*CD*\sin(∠ACD)}{AD*AD*\sin(∠ABC)}=\frac{\sin(D)\sin(100)\sin(80-D)}{\sin(80-D)\sin(80-D)\sin(40)}=\frac{\sin(D)\sin(80)}{\sin(40)\cos(10+D)}=\frac{2\sin(D)\cos(40)}{\cos(10+D)}\)

由\(2\sin(D)=1\ \ \ \cos(40)=\cos(10+D)\Rightarrow D=30\)

补充内容 (2022-4-20 09:51):
是凑出来的(反正就这几种可能)，凑的过程也就是在帮助整理思路。

王守恩

gxqcn 发表于 2022-4-15 15:10

谢谢站长！很好的链接！里面有蛮多不错的题目！譬如：我不知道怎么打开？谢谢站长！
https://mbd.baidu.com/newspage/d ... &sourceFrom=rec