酒壶原本

shuexueweihe

有一个8公升，装满水的酒壶；还有一个5公升的和3公升，没有装水的酒壶。请问你要如何把水平均分成两个4公升分别装在两个酒壶里呢？


定义：

定义1 - x=x公升的水；

定义2 - A(x)=8公升酒壶的x公升的水；

定义3 - B(x)=5公升酒壶的x公升的水；

定义4 - C(x)=3公升酒壶的x公升的水。


公理：

公理1 - 最始状态是A(8) B(0) C(0), 所以一定从A(8)开始。

公理2 - 如果状态是A(0) B(5) C(3), 是没意思的，因为是多余的操作，比如以下的操作例子：

1. A(8) B(0) C(0)

2. A(3) B(5) C(0)

3. A(0) B(5) C(3)

4. A(3) B(5) C(0)

5. A(3) B(2) C(3)
...

不如直接。。。

1. A(8) B(0) C(0)

2. A(3) B(5) C(0)

3. A(3) B(2) C(3)
...
（注解：最好不要有A(0)的操作）

公理3 - 如果下一个操作是撤回前一个操作，那也是没意思的。

抽象“具体的操作”成运算式子的例子：

从A(8)开始（公理1），就是状态A(8) B(0) C(0)的具体操作：

1. A(8) B(0) C(0)

2. A(3) B(5) C(0)

3. A(0) B(5) C(3), 公理2所说的多余！

从具体到抽象，就是运算式子 8-5=3, 3-3=0.

公理4 - 最后状态是A(4) B(4) C(0).
（注解：运算式子里得到4是关键）

公理5 - 显而易见，运算式子的运算选项应该有 -5, +5, -3, +3, -4, +4, -2, +2, -1, +1. 不过，考虑到公理1的8公升酒壶开始操作和性质1，就是从8公升酒壶的角度来看这个封闭系统的“结构”（也就是5公升酒壶和3公升酒壶），运算式子只考虑 -5, +5, -3, +3.

这个公理5会不会和《几何原本》的第5平行公设一样，都有争议呢？还是像《几何原本》一样，相比《几何基础》而不够完善呢？


逻辑推理演绎：

从A(8)开始, 公理1

8+5=13, 不可能！

8-5=3, 设为案例1.

8+3=11, 不可能！

8-3=5, 设为案例2.

案例1:

8-5=3, 3+5=8, 公理3所说的撤回！

8-5=3, 3-5=-2, 不可能！

8-5=3, 3-3=0, 公理2所说的多余！

8-5=3, 3+3=6, 6+3=9, 不可能！

8-5=3, 3+3=6, 6-3=3, 公理3所说的撤回！

8-5=3, 3+3=6, 6+5=11, 不可能！

8-5=3, 3+3=6, 6-5=1, 1+5=6, 公理3所说的撤回！

8-5=3, 3+3=6, 6-5=1, 1-5=-4, 不可能！

8-5=3, 3+3=6, 6-5=1, 1-3=-2, 不可能！

8-5=3, 3+3=6, 6-5=1, 1+3=4, 公理4所说的关键，设为案例1最后式子。

运算式子从抽象到具体操作：

8-5=3, 3+3=6, 6-5=1, 1+3=4

1. A(8) B(0) C(0)

2. A(3) B(5) C(0)

3. A(3) B(2) C(3)

4. A(6) B(2) C(0)

5. A(6) B(0) C(2)

6. A(1) B(5) C(2)

7. A(1) B(4) C(3)

8. A(4) B(4) C(0)

案例2:

8-3=5, 5+5=10, 不可能！

8-3=5, 5-5=0, 公理2所说的多余！

8-3=5, 5+3=8, 公理3所说的撤回！

8-3=5, 5-3=2, 2+3=5, 公理3所说的撤回！

8-3=5, 5-3=2, 2-3=-1, 不可能！

8-3=5, 5-3=2, 2-5=-3, 不可能！

8-3=5, 5-3=2, 2+5=7, 7+5=12, 不可能！

8-3=5, 5-3=2, 2+5=7, 7-5=2, 公理3所说的撤回！

8-3=5, 5-3=2, 2+5=7, 7+3=10, 不可能！

8-3=5, 5-3=2, 2+5=7, 7-3=4, 公理4所说的关键，设为案例2最后式子。

运算式子从抽象到具体操作：

8-3=5, 5-3=2, 2+5=7, 7-3=4

1. A(8) B(0) C(0)

2. A(5) B(0) C(3)

3. A(5) B(3) C(0)

4. A(2) B(3) C(3)

5. A(2) B(5) C(1)

6. A(7) B(0) C(1)

7. A(7) B(1) C(0)

8. A(4) B(1) C(3)

9. A(4) B(4) C(0)


回看以上两个案例最后式子，觉得不好看（不够好）！可以再逻辑演绎"一般化"或"程序化"成一个解法：

案例1最后式子：

8-5=3, 3+3=6, 6-5=1, 1+3=4

8-5+3-5+3=4

同类型的放在一起，-5-5+3+3=-4

x-1, +5+5-3-3=4, 公理4所说的关键4

2(+5)+2(-3)=4, 公理5运算式子的 -5, +5, -3, +3

剩下的两个2是变量，所以可以符号化，

+5X-3Y=4, 丢番图方程，它的求解仅在整数范围内进行，就是X=2, Y=2.

案例2最后式子：

8-3=5, 5-3=2, 2+5=7, 7-3=4

8-3-3+5-3=4

同类型的放在一起，-3-3-3+5=-4

x-1, +3+3+3-5=4, 公理4所说的关键4

3(+3)+1(-5)=4, 公理5运算式子的 -5, +5, -3, +3

剩下的3和1是变量，所以可以符号化，

+3X-5Y=4, 丢番图方程，它的求解仅在整数范围内进行，就是X=3, Y=1.


再出几个类似的题目，比如把8, 5, 3, 4四个数字换一换，直接用丢番图方程的解法：

1) 10, 7, 3, 4

+7X-3Y=6 [(4-10)*-1]; X=3, Y=5

+3X-7Y=6 [(4-10)*-1]; X=9, Y=3

再用之前的步骤测试，也行，因为两者是相通的。

2) 20, 12, 8, 10

+12X-8Y=10 [(10-20)*-1]

+8X-12Y=10 [(10-20)*-1]

两个都找不到整数范围内的解，而用之前的步骤测试，也不行，所以它们不是丢番图方程。


解不出20, 12, 8, 10的酒壶问题表明这个《酒壶原本》只适用于有"整数范围内的解"的酒壶问题啊！就像《几何原本》的第5平行公设，只适用于欧几里得几何，而不适用于非欧几里得几何！也像《几何原本》一样，相比《几何基础》而不够完善，不能给出所有酒壶问题"一般性"的解！

hujunhua

本坛对这个问题有过比较透彻的讨论。
求水杯问题的终极解答

shuexueweihe

酒干倘卖无？

路漫漫其修远兮，吾将沿公理，步逻辑，与数学同行。愿数学与我同在。

kastin

A(8)向B(0)倒满，得A(3),B(5)
B(5)向C(0)倒满，得B(2),C(3),A(3)
C(3)向A(3)倒尽，得B(2),C(0),A(6)
B(2)向C(0)倒尽，得B(0),C(2),A(6)
A(6)向B(0)倒满，得B(5),C(2),A(1)
B(5)向C(2)倒满，得B(4),C(3),A(1)
C(3)向A(1)倒尽，得B(4),C(0),A(4)

shuexueweihe

kastin 发表于 2022-7-7 15:18
A(8)向B(0)倒满，得A(3),B(5)
B(5)向C(0)倒满，得B(2),C(3),A(3)
C(3)向A(3)倒尽，得B(2),C(0),A(6)

A(8)向B(0)倒满，得A(3),B(5)
B(5)向C(0)倒满，得B(2),C(3),A(3)
C(3)向A(3)倒尽，得B(2),C(0),A(6)
B(2)向C(0)倒尽，得B(0),C(2),A(6)
A(6)向B(0)倒满，得B(5),C(2),A(1)
B(5)向C(2)倒满，得B(4),C(3),A(1)
C(3)向A(1)倒尽，得B(4),C(0),A(4)

这就是1楼的案例1，还有一个案例2的做法。

案例2
1. A(8) B(0) C(0)
2. A(5) B(0) C(3)
3. A(5) B(3) C(0)
4. A(2) B(3) C(3)
5. A(2) B(5) C(1)
6. A(7) B(0) C(1)
7. A(7) B(1) C(0)
8. A(4) B(1) C(3)
9. A(4) B(4) C(0)

就算是这些"纯"做法或者步骤，它们的背后都会有数学，而《水桶原本》就是其数学之一。公理1，4，5就是需要做的步骤，而公理2，3就是不需要做的步骤。

做着。。。做着。。。，就会感觉。。。

"Walk the math in logical steps along the axioms."

"以逻辑的步伐，沿着公理，与数学同行。"

shuexueweihe

路漫漫其修远兮，吾将从原点，步逻辑，与哲学同行；沿公理，步逻辑，与数学同行；依数学，步逻辑，与计算同行；据原理，步逻辑，与科学同行。

路漫漫其修远兮，吾将上下而求索。
- 出自屈原的抒情诗《离骚》中第97句。