一条边平分内、外心连线的三角形

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求作一个三角形 ABC，使其外心 O与内心 I 的中点恰好位于 BC 边上。

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对于等腰三角形，譬如 AB=AC，则 ∠A=108°，等于正五边形的一个内角.

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下面这个解答是【初等数学讨论】网站的【战巡】网友给出的：

mathe

记三角形面积为A, s为半周长，两圆半径分别为R,r, 各边长a,b,c, 而x=s-a,y=s-b,z=s-c等
于是我们有$A^2=xyzs=(rs)^2$, 所以$r^2={xyz}/s$
另外由于$A=1/2 ab sin(C)=\frac{abc}{4R}$, 所以得出
$R=\frac{abc}{4A}$,得出$R^2=\frac{(x+y)^2(y+z)^2(z+x)^2}{16xyz(x+y+z)}$
而题目要求为$R^2-r^2=(a/2)^2$, 即
$\frac{(x+y)^2(y+z)^2(z+x)^2}{16xyz(x+y+z)}-\frac{xyz}{x+y+z}=\frac{(y+z)^2}4$
比如x,y,z为$1/3,1,2$满足要求.
固定z=1,可以得到
$((y+1)x^2+(y-1)^2x-y(y+1))((y+1)x^2+(y^2+6y+1)x-y(y+1))=0$
对于每个给定的正值y, 对应的x在两个方程都正好有一个正根

mathe

对于上面的两类结果用Geogebra做图，可以看出，第一个因子对应内心和外心在边的同侧，第二个对应异侧，为本题所要的情况。
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3#作图方法可以简化如下：

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还有一个作图法，是【初等数学讨论】网站的另一位网友给出的：

这个作法显然是基于彭色列封闭定理，显得十分独到。

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7# 楼的作图法是基于彭色列闭合定理的。
3#和6#的作图法则基于轨迹分析法。在固定边BC和外心O之后，顶点A在圆(O→B)上滑动，内心 I 随之在一个圆弧BIC上滑动，因为∠BIC=π/2+A/2为定值。