若尔当标准型构建相似矩阵的广义特征向量怎么求？

jiewenji · 发表于 2022-4-25 12:59:05

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老师说用若当标准型构建nxn矩阵A的相似对角化\(P^{-1}AP=J\) P当中的列向量既有矩阵A 独立特征值对应的特征向量，也有重复特征值对应的“广义特征向量”。但是无论是一般特征向量还是广义特征向量都应该是n维的，否则就无法构建可逆方阵P了。

那么怎么求广义特征向量呢。如下图给出了在一个若尔当块中求广义特征向量的方法，请看下图中蓝色方框。

我的问题是nxn矩阵A对应的若尔当标准型里面的若尔当块维度一定小于n，因为本质是个子矩阵么。那么据此求出的与该若尔当块对应的广义特征向量维度也一定小于n。那这个广义特征向量还是无法用于构建可逆矩阵P吧？如果我上述理解没错。那么如何求构建可逆矩阵P所需的n维广义特征向量？

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