费马点的坐标能手工求解出来吗？

KeyTo9_Fans

已知A、B、C点的坐标分别是(0,0)、(100,0)、(0,50)，求P点的坐标，使得P点到A、B、C这3个点的距离之和最小，并求出这个和。

结论如下：

P点的坐标是$50/39(3+4\sqrt3,24-7\sqrt3)$，距离之和是$(50\cdot\sqrt(6\sqrt(3)+11)\cdot(4\sqrt(13)-sqrt(39)))/13$

P点坐标的近似值是 (12.7285, 15.2252)，距离之和的近似值是 145.46564556

我尝试了一下手工求解，非常麻烦，想问一下有没有简洁一点的手工解法，推导出上述结论？

hujunhua

距离之和`PA+PB+PC=BE=CF=50\sqrt{1^2+2^2-2·1·2·\cos∠FAC}=50\sqrt{5+2\sqrt3}`
费马点，求圆弧APB与圆弧APC的交点，计算量不算太大。
或者计算线段BE与CF的交点也成，结果与楼上一致。

葡萄糖

利用第一费马点的重心式坐标
（区别于三线式坐标）
\begin{gather*}\left\{\begin{split}
k_{a}&=a^4-2(b^2-c^2)^2+a^2(b^2+c^2+4\sqrt3S_△)\\
k_{b}&=b^4-2(a^2-c^2)^2+b^2(a^2+c^2+4\sqrt3S_△)\\
k_{c}&=c^4-2(a^2-b^2)^2+c^2(a^2+b^2+4\sqrt3S_△)\\
\end{split}\right.\\ \\
F=\dfrac{k_aA+k_bB+k_cC}{k_a+k_b+k_c}
\end{gather*}※※※※※  ※※※※※  ※※※※※
已知$A(0,0)$,$B(100,0)$,$C(0,50)$，则三条边的长度分别为\[
|BC|=a=50\sqrt5,|AC|=b=50,|AB|=c=100,S_△=2500
\]则重心比例分量为
\begin{gather*}\left\{\begin{split}
k_{a}&=a^4-2(b^2-c^2)^2+a^2(b^2+c^2+4\sqrt3S_△)=25000000 \left(8+5\sqrt{3}\right)\\
k_{b}&=b^4-2(a^2-c^2)^2+b^2(a^2+c^2+4\sqrt3S_△)=25000000 \left(2+\sqrt{3}\right)\\
k_{c}&=c^4-2(a^2-b^2)^2+c^2(a^2+b^2+4\sqrt3S_△)=50000000 \left(1+2\sqrt{3}\right)
\end{split}\right.\end{gather*}再计算向量分量
\begin{align*}
F&=\dfrac{k_aA+k_bB+k_cC}{k_a+k_b+k_c}=\frac{3+4\sqrt3}{78}\,\,B+\frac{24-7\sqrt3}{39}\,\,C\\
\end{align*}
这个方法的好处是空间向量的坐标一样可以给出

nyy

你的距离和，化简的不够简洁：

1. Clear["Global`*"];(*清除所有变量*)
   
2. (*子函数,四面体体积公式，a,b,c分别是从一个顶点出发的三条棱，x,y,z分别是对棱*)
   
3. fun[a_,b_,c_,x_,y_,z_]:=Sqrt[Det[{{0,1,1,1,1},{1,0,a^2,b^2,c^2},{1,a^2,0,z^2,y^2},{1,b^2,z^2,0,x^2},{1,c^2,y^2,x^2,0}}]/288]
   
4. (*子函数,利用三边计算角的余弦值,角是c边所对的角*)
   
5. cs[a_,b_,c_]:=((a^2+b^2-c^2)/(2*a*b))
   
6. {a,b,c}={50*Sqrt[5],50,100}(*△ABC三边长度赋值*)
   
7. cond=fun[PA,PB,PC,a,b,c]^2(*四面体PABC体积等于零为约束条件*)
   
8. f=PA+PB+PC+t*(cond-0)(*拉格朗日乘子法建立目标函数*)
   
9. (*求偏导数,解方程组,得到零点*)
   
10. ans=Solve[D[f,{{PA,PB,PC,t}}]==0,{PA,PB,PC,t}]//FullSimplify//ToRadicals
    
11. Grid[ans,Alignment->Left](*列表显示*)
    
12. Grid[Chop@N[ans,10],Alignment->Left](*数值化,列表显示*)
    
13. aaa=Select[ans,(And[PA>=0,PB>=0,PC>=0]/.#)&](*选择大于等于零的变量*)
    
14. bbb=f/.aaa[[1]]//FullSimplify(*求得函数值*)
    
15. Print["长度和数值化:"]
    
16. N[bbb,20](*数值化长度和*)
    
17. ang=ArcCos@cs[PA,c,PB]/.aaa[[1]]//FullSimplify(*计算∠PAB*)
    
18. {Px,Py}=PA*{Cos[ang],Sin[ang]}/.aaa[[1]]//FullSimplify(*计算P点坐标*)
    
19. Print["坐标数值化:"]
    
20. N[{Px,Py},20](*数值化坐标*)
    

复制代码

利用四面体体积等于零，得到约束条件，建立目标函数如下
\[f=\text{PA}+\text{PB}+\text{PC}+\\ t
\frac{1}{36} (-625) \left(5 \text{PA}^4-2 \text{PA}^2 \text{PB}^2-8 \text{PA}^2 \text{PC}^2+\text{PB}^4-20000 \text{PB}^2+4 \text{PC}^4-20000 \text{PC}^2+125000000\right)
\]

求解偏导数，解方程组，得到
\[\begin{array}{llll}
\text{PA}\to -100 \sqrt{\frac{1}{39} \left(2 \sqrt{3}+5\right)} & \text{PB}\to 100 \sqrt{\frac{1}{39} \left(6 \sqrt{3}+41\right)} & \text{PC}\to -50 \sqrt{\frac{1}{39} \left(11-6 \sqrt{3}\right)} & t\to \frac{27 \sqrt{214 \sqrt{3}+635}}{6875000000} \\
\text{PA}\to 100 \sqrt{\frac{1}{39} \left(2 \sqrt{3}+5\right)} & \text{PB}\to -100 \sqrt{\frac{1}{39} \left(6 \sqrt{3}+41\right)} & \text{PC}\to 50 \sqrt{\frac{1}{39} \left(11-6 \sqrt{3}\right)} & t\to -\frac{27 \sqrt{214 \sqrt{3}+635}}{6875000000} \\
\text{PA}\to -100 \sqrt{\frac{1}{39} \left(5-2 \sqrt{3}\right)} & \text{PB}\to -100 \sqrt{\frac{1}{39} \left(41-6 \sqrt{3}\right)} & \text{PC}\to -50 \sqrt{\frac{1}{39} \left(6 \sqrt{3}+11\right)} & t\to \frac{27 \sqrt{635-214 \sqrt{3}}}{6875000000} \\
\text{PA}\to 100 \sqrt{\frac{1}{39} \left(5-2 \sqrt{3}\right)} & \text{PB}\to 100 \sqrt{\frac{1}{39} \left(41-6 \sqrt{3}\right)} & \text{PC}\to 50 \sqrt{\frac{1}{39} \left(6 \sqrt{3}+11\right)} & t\to -\frac{27 \sqrt{635-214 \sqrt{3}}}{6875000000} \\
\end{array}\]

数值化结果，得到
\[\begin{array}{llll}
\text{PA}\to -46.58629053 & \text{PB}\to 114.7933537 & \text{PC}\to -6.241379463 & t\to \text{1.245421636861549683946648532652$\grave{ }$10.*${}^{\wedge}$-7} \\
\text{PA}\to 46.58629053 & \text{PB}\to -114.7933537 & \text{PC}\to 6.241379463 & t\to -\text{1.245421636861549683946648532652$\grave{ }$10.*${}^{\wedge}$-7} \\
\text{PA}\to -19.84490108 & \text{PB}\to -88.58965494 & \text{PC}\to -37.03108954 & t\to \text{6.38518420159809689762351954332$\grave{ }$10.*${}^{\wedge}$-8} \\
\text{PA}\to 19.84490108 & \text{PB}\to 88.58965494 & \text{PC}\to 37.03108954 & t\to -\text{6.38518420159809689762351954332$\grave{ }$10.*${}^{\wedge}$-8} \\
\end{array}\]

只需要非负数解，得到
\[\left\{\left\{\text{PA}\to 100 \sqrt{\frac{1}{39} \left(5-2 \sqrt{3}\right)},\text{PB}\to 100 \sqrt{\frac{1}{39} \left(41-6 \sqrt{3}\right)},\text{PC}\to 50 \sqrt{\frac{1}{39} \left(6 \sqrt{3}+11\right)},t\to -\frac{27 \sqrt{635-214 \sqrt{3}}}{6875000000}\right\}\right\}\]

代入目标函数得到长度和，得到
\[50 \sqrt{2 \sqrt{3}+5}\]
数值化得到
145.46564555882047323

计算∠PAB的大小，得到
\[\cos ^{-1}\left(\sqrt{\frac{3 \sqrt{3}}{26}+\frac{11}{52}}\right)\]

计算P点坐标，得到
\[\left\{\frac{50}{39} \left(4 \sqrt{3}+3\right),\frac{50}{13} \left(8-\frac{7}{\sqrt{3}}\right)\right\}\]
坐标数值化，得到
{12.728465679840396377, 15.225185060279306340}

nyy

电脑能算的，理论上人工都能算，最多只是时间与耐心的问题！
我不赞同手算，因为这并不能显示你很牛逼！
我的观点是：能电脑算就电脑算，人的大脑是用来思考的，不是用来浪费时间在无聊的问题上的！

nyy

葡萄糖 发表于 2022-5-26 20:51
利用第一费马点的重心式坐标
（区别于三线式坐标）
\begin{gather*}\left\{\begin{split}

你的我看不懂，尤其是“第一费马点的重心式坐标”，第一次听说这玩意，能解释解释不？
还是拉格朗日乘子法简单容易理解。