cos5x的傅里叶级数展开为什么无法得到正确的非零频率系数？

jiewenji

cos5x作为输入函数(需要被展开的函数) 其周期是T=2pi/5     根据傅里叶级数展开式推导过程可以，下图蓝框中的\(\omega\)    应该等于2pi  除以 输入函数的周期  因此\(\omega=\frac{2\pi}{T}\)  =5

按理说 下图当中的Cn 代表频域各个离散频率的幅值系数。因此当被展开函数f(t)=cos5x时，其频域 cos5x  也就是5Hz的那个频率的系数\(C_{5 }\)应该为1，其他频率的幅值系数应该为0

但实际将上述条件带入蓝框中的公式你会发现实际上时只有当n=1的时候(对应系数 (C_{1 }\)  ) 才会有非零结果。否则根据三角系数正交法则。其他n值对应的三角函数和cos5x  在0到T的积分都等于0

请问这是怎么回事？我错在哪里了？

TSC999

\(cos\,ax\) 当 \(a\) 不为整数时能展开成傅里叶级数：

\(cos\,ax=\frac{2a\,sin\,a\pi}{\pi}(\frac{1}{2a^2}-\frac{cos\,x}{a^2-1}+\frac{cos\,2x}{a^2-4}-\frac{cos\,3x}{a^2-9}+\cdots )\)

上式摘自苏联 1965 年【大学生用数学手册】原版第557页。当时这本厚度如砖的书售价为 1 卢布 43 戈比，相当于当年人民币 1 块多钱。现在 10 卢布顶人民币 1 块钱。

但是当 \(a=5\) 时，因为 \(5\) 是整数，所以 \(cos\,5x\) 不能展成傅氏级数。