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[求助] mathematica 有没有三角波函数?如果没有,怎样构造一个?

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发表于 2022-6-24 11:40:02 | 显示全部楼层 |阅读模式

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本帖最后由 TSC999 于 2022-6-24 12:02 编辑

mathematica 有没有三角波函数?如果没有,怎样构造一个?

例如,mathematica 本身不带正弦半波整流函数,但是可以用  (Sin[x] + Abs[Sin[x]])/2  来表示正弦半波整流函数,也可以用 Sin[x] HeavisideTheta[Sin[x]] 来表示正弦半波整流函数。

这里所说的三角波函数是指,在 \([-\pi/2, \pi/2]\) 区间上 \(y=x\);  在  \([\pi/2, 3\pi/2]\) 区间上 \(y=-x+\pi\); ......,见下图:

三角波.png

毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2022-6-24 18:02:58 | 显示全部楼层
本帖最后由 TSC999 于 2022-6-24 18:05 编辑

为什么要这个三角波函数?是为了求它的傅里叶变换得到的级数。例如对于正弦半波整流函数而言,要求它的傅里叶变换得到的级数,可用以下指令实现:

  1. FourierTrigSeries[ (Sin[x] + Abs[Sin[x]])/2, x, 11]
复制代码


运行结果是:

  1. sin(x)/2-(2 cos(2 x))/(3 \[Pi])-(2 cos(4 x))/(15 \[Pi])-(2 cos(6 x))/(35 \[Pi])-(2 cos(8 x))/(63 \[Pi])-(2 cos(10 x))/(99 \[Pi])+1/\[Pi]
复制代码


那么对于 1# 所说的三角波函数,怎样求得它的傅氏级数?
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 楼主| 发表于 2022-6-24 18:22:39 | 显示全部楼层
对于下面的锯齿波,如何求得它的傅氏级数?

锯齿波 1.png
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 楼主| 发表于 2022-6-25 20:11:41 | 显示全部楼层
本帖最后由 TSC999 于 2022-6-25 20:13 编辑

三角波函数是  f[x]=ArcSin[Sin[x]];

锯齿波函数是  f[x]=2 ArcTan[Tan[x/2]];

以上两个函数是【初中数学讨论】论坛的 色k 先生给出的。

这两个函数的傅里叶展开级数是:

三角波与锯齿波的傅里叶级数.png
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 楼主| 发表于 2022-6-25 22:33:40 | 显示全部楼层
本帖最后由 TSC999 于 2022-6-25 23:10 编辑

继续请教,下面这个 \(y=x^2 ,-π≤x≤\pi\) 如何用一个简单函数

在 (-∞,+∞) 上进行延拓?


x 平方的延拓函数.png

另外,mathematica 软件有没有通用的方法,能把某个区间的函数延拓成在 (-∞,+∞) 上的周期函数?
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 楼主| 发表于 2022-6-27 09:09:59 | 显示全部楼层
本帖最后由 TSC999 于 2022-6-27 09:13 编辑

函数 \(y=x^2,-\pi≤x≤+\pi\) 在\((-∞,+∞)\) 区间上的延拓 \(f(x)\):

x 平方的延拓函数答案 .png

最下面一行是 \(f(x)\) 的傅里叶级数的前几项。

以上函数仍是【初中数学讨论】论坛的 色k 先生给出的,不知道其中有什么规律?对于任意一段函数是否都能将它变成\((-∞,+∞)\) 区间上的周期函数?
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 楼主| 发表于 2022-6-28 07:59:08 | 显示全部楼层
除了上面的以外,还有两种函数也能实现上述延拓:

三种都行.png

上图中,三条曲线重合在一起了。
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 楼主| 发表于 2022-6-30 07:41:11 | 显示全部楼层
对于任意一段函数,是否都有办法将它变成 \((-∞,+∞)\)区间上的周期函数?
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