mathematica 有没有三角波函数？如果没有，怎样构造一个？

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mathematica 有没有三角波函数？如果没有，怎样构造一个？

例如，mathematica 本身不带正弦半波整流函数，但是可以用  (Sin[x] + Abs[Sin[x]])/2  来表示正弦半波整流函数，也可以用 Sin[x] HeavisideTheta[Sin[x]] 来表示正弦半波整流函数。

这里所说的三角波函数是指，在 \([-\pi/2, \pi/2]\) 区间上 \(y=x\);  在  \([\pi/2, 3\pi/2]\) 区间上 \(y=-x+\pi\); ......，见下图：

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为什么要这个三角波函数？是为了求它的傅里叶变换得到的级数。例如对于正弦半波整流函数而言，要求它的傅里叶变换得到的级数，可用以下指令实现：

1. FourierTrigSeries[ (Sin[x] + Abs[Sin[x]])/2, x, 11]

复制代码

运行结果是：

1. sin(x)/2-(2 cos(2 x))/(3 \[Pi])-(2 cos(4 x))/(15 \[Pi])-(2 cos(6 x))/(35 \[Pi])-(2 cos(8 x))/(63 \[Pi])-(2 cos(10 x))/(99 \[Pi])+1/\[Pi]

复制代码

那么对于 1# 所说的三角波函数，怎样求得它的傅氏级数？

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对于下面的锯齿波，如何求得它的傅氏级数？

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三角波函数是  f[x]=ArcSin[Sin[x]];

锯齿波函数是  f[x]=2 ArcTan[Tan[x/2]];

以上两个函数是【初中数学讨论】论坛的 色k 先生给出的。

这两个函数的傅里叶展开级数是：

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继续请教，下面这个 \(y=x^2 ，-π≤x≤\pi\) 如何用一个简单函数

在 (-∞,+∞) 上进行延拓？



另外，mathematica 软件有没有通用的方法，能把某个区间的函数延拓成在 (-∞,+∞) 上的周期函数？

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函数 \(y=x^2，-\pi≤x≤+\pi\) 在\((-∞,+∞)\) 区间上的延拓 \(f(x)\)：



最下面一行是 \(f(x)\) 的傅里叶级数的前几项。

以上函数仍是【初中数学讨论】论坛的 色k 先生给出的，不知道其中有什么规律？对于任意一段函数是否都能将它变成\((-∞,+∞)\) 区间上的周期函数？

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除了上面的以外，还有两种函数也能实现上述延拓：



上图中，三条曲线重合在一起了。

TSC999

对于任意一段函数，是否都有办法将它变成 \((-∞,+∞)\)区间上的周期函数？